Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

mijloacele arcului mic BC, respectiv arcului mare BC. SăsearatecădrepteleAM,DN şi BC sunt concurente.Gabriel Popa, IaşiB. Nivel licealL146. În plan se consideră drepteled 1 , d 2 ,..., d n+1 , oricare două neparalele.Notăm cu α k = m( d k\,d k+1 ), α k ≤ 90 ◦ , k = 1,n. Pe d 1 se consideră unsegmentde lungime 2 care se proiectează ped 2 ,apoisegmentulobţinut se proiectează ped 3 şi tot aşa, până cândped n+1 se obţine un segment de lungime 1. Ştiind cătg ¡ min © α i | i = 1,n ª¢ = p √ n4 − 1, determinaţi unghiurile α k , k = 1,n.Cristian Săvescu, student, BucureştiL147. Se consideră un poligon convex cu n laturi, n ≥ 4, având proprietatea căoricare două diagonale nu sunt paralele şi oricare trei nu sunt concurente în punctediferite de vârfurile poligonului. Se notează cun i numărul punctelor de intersecţie adiagonalelor interioare poligonului şi cu n e cel al punctelor de intersecţie exterioarepoligonului.a) Să searatecăexistă exact opt poligoane care verifică relaţia n i >n e .b) Să searatecăexistă exact trei poligoane pentru care n i + n e = kn 2 , k ∈ N ∗ .Mihai Haivas, IaşiL148. Pe latura (AB) a triunghiului ABC considerăm punctul D astfel încâtAB =4AD. De aceeaşi parte a laturii AB ca şi punctul C, luăm un punct Pastfel încât \PDA ≡ \ACB şi PB =2PD. Demonstraţi că patrulaterul ABCP esteinscriptibil.Nela Ciceu, Bacău şi Titu Zvonaru, ComăneştiL149. Să se determine poziţia punctului P pe directoarea parabolei P, astfelîncât aria triunghiului PT 1 T 2 săfieminimă, unde T 1 şi T 2 sunt punctele de contactcu parabola ale tangentelor duse din P la P.Adrian Corduneanu, IaşiL150. Fie tetraedrul A 1 A 2 A 3 A 4 ,iarP un punct în interiorul său. Notăm cuA ij ∈ (A i A j ) proiecţiile ortogonale ale lui P pe muchiile A i A j ale tetraedrului.Demonstraţi căV PA12 A 13 A 23+ V PA12 A 14 A 24+ V PA13 A 14 A 34+ V PA23 A 24 A 34≤ 1 4 V A 1 A 2 A 3 A 4.Când se atinge egalitatea?Marius Olteanu, Rm. Vâlceah L151. Să se demonstreze că nu există numere naturale n şi k astfel încât¡2+ √ ¢ 2n+1i h ¡4+ √ ¢ ki3 = 15 .Cosmin Manea şi Dragoş Petrică, PiteştiL152. Pentru a, b, c ∈ R şi x ∈ R + ,demonstraţi inegalitatea9a 2 + b 2 + c 2 ≤ 3(x +1) 2 (a + b + c) 4h3(x 2 +1)(a 2 + b 2 + c 2 )+2x(a + b + c) 2i ≤ 1 (ab + bc + ca) 2 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 .I. V. Maftei şi Dorel Băiţan, Bucureşti177