Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

1RRf (x) dx. Deducem că 2 1 Rx (f (x)+f (1 − x)) dx =2 1 f (x) dx, adicătocmaiconcluziaproblemei.000Problema 4. a) Putem scrie că p q − q p =(p − q) ¡ p q−1 + qp q−2 + ···+ q q−1¢ −q q (q p−q − 1); deoarece (p − q, q q )=1, deducem că p − q | p q − q p dacă şi numai dacăp − q | q p−q − 1.b) Rezultatul de la punctul a) se reformulează astfel: p − q | p q − q p dacă şi numaidacă q p−q ≡ 1 (mod (p − q)). Dar (p − q, q) =1,deciq ϕ(p−q) ≡ 1 (mod (p − q))(teorema lui Euler); deoarece ϕ (p − q) =ϕ (2r) =r − 1, deducem că q r−1 ≡ 1(mod (p − q)) şi q 2r ≡ 1 (mod (p − q)). Dar (r − 1, 2r) =2, deci p − q | p q − q p dacăşi numai dacă q 2 ≡ 1 (mod (p − q)).Particularizând, se pot obţine o serie de probleme interesante; iată câteva exemple:34 | 67 101 − 101 67 , 34 | 137 103 − 103 137 , 22 | 881 859 − 859 881 , 6 | 2011 2017 − 2017 2011 .1. La data de 15 ianuarie 1883 a apărut primul număr al revistei Recreaţii Ştiinţifice(1883—1888). În anul acesta, 2008, se împlinesc 125 de ani de la apariţiaacesteia.Scrieţi 2008 folosind numărul 125 şi (numai) operaţiile de adunare şi împărţire!Care este numărulmaximdeoperaţii cu care puteţi face această scriere? Dar celminim? (Nu se acceptă termeni nuli!)2. Se dau trei cifre şi un rezultat. Indicaţi operaţiile necesare pentru a restabiliegalitatea!1 1 1 = 82 2 2 = 83 3 3 = 84 4 4 = 85 5 5 = 86 6 6 = 87 7 7 = 88 8 8 = 89 9 9 = 8.Notă. Răspunsurile pot fi găsite la pag. 160.142