Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

Oproblemă şi ... nouăsoluţiiGheorghe IUREA 1 ,GabrielPOPA 2În numărul 2/2007 al Recreaţiilor Matematice, Enache Pătraşcu a propus sprerezolvare problemaG133. Fie 4ABC echilateral şi D un punct astfel încât BD = DC, m(\BDC) =30 ◦ ,iarBC separă A şi D. Dacă E ∈ (BD) cu m(\BAE) =15 ◦ ,săsearatecăCE ⊥ AC.Soluţia autorului problemei (prezentată mai jos) recurge la o construcţie ajutătoareinteresantă, dar greu de găsit. Încercăriledeaabordaproblemaîntr-unmoddiferit au fost încununate de succes într-o măsură maimaredecâtneaşteptam; încele ce urmează potfigăsite nouă soluţii ale problemei, iar cititorul probabil că vamai observa şi altele.Soluţia 1. Notăm cu A 0 simetricul lui A faţă deBC. Observăm că m( \EBA 0 )=m(\EBC) − m( \A 0 BC) =75 ◦ − 60 ◦ =15 ◦ , prin urmare \EBA 0 ≡ \EAA 0 . Deducem căpatrulaterul ABEA 0 este inscriptibil, de unde \EA 0 B ≡ \EAB, adică m( \EA 0 B)=15 ◦ .Obţinem astfel că 4EBA 0 este isoscel cu EB = EA 0 şi de aici rezultă că E se aflăpe mediatoarea segmentului [BA 0 ], deci CE ⊥ BA 0 . Este însăclarcă BA 0 k AC,prin urmare CE ⊥ AC (fig. 1).Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3Soluţia 2 (Sergiu Prisacariu, Cristian Lazăr). Fie F ∈ (BD) astfel încâtCF ⊥ AC; atuncim(\BCF) =90 ◦ − 60 ◦ =30 ◦ şi cum m(\CBF) =75 ◦ , deducemcă m(\CFB) =75 ◦ . Rezultăcă CB = CF, de unde CA = CF, adică 4CAF este1 Profesor, Liceul Teoretic "Dimitrie Cantemir", Iaşi2 Profesor, Colegiul Naţional, Iaşi128