Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

când α =90 ◦ . În cazul nostru, cum AC 2 + BD 2 > (2R) 2 (relaţia revine la 30 > 24),deducem că există un patrulater cu diagonalele perpendiculare şi de lungimi 2 √ 3 cmşi 3 √ 2 cm, prin urmare maximul ariei se atinge şi este S max = 1 2 · 2√ 3 · 3 √ 2=3 √ 6cm 2 .G135. Fie tetraedrul ABCD cu AB = CD, AC = BD, AD = BC. Săsearatecă celpuţin două dintre unghiurile diedre <strong>format</strong>e de faţa (ABC) cu feţele (BCD),(ACD), (ABD) sunt ascuţite.Dan Brânzei, IaşiSoluţie (Răzvan Ceucă, elev, Iaşi). Este evidentcă cele trei diedre nu pot fi toate neascuţite; săpresupunem prin absurd că două dintre ele sunt neascuţite(anume cele de muchii BC şi AC, alecăror măsurivor fi α, respectiv β, cuα, β ≥ 90 ◦ ), iar al treilea,anume cel de muchie AB, aremăsura γ
opusă (vezi,deexemplu,L.Niculescuşi V. Boskoff - Probleme practice de geometrie,Ed. Tehnică, 1990). Cum noi dorim să arătăm că diagonala AQ a paralelogramuluiASQT este simediană, ar fi destul să demonstrăm că ST este antiparalelă laBC,deci că ATAB = ASAB. Acest lucru este însă evident, deoarece AT =AC 2cosA , iarAS =AC şi astfel rezolvarea este încheiată.2cosAL127. Fie A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 un hexagon inscriptibil. Să searatecăr A1 A 2 A 3+ r A4 A 5 A 6+ r A1 A 3 A 6+ r A3 A 4 A 6= r A3 A 4 A 5+ r A1 A 2 A 6+ r A2 A 3 A 6+ r A3 A 5 A 6,unde r XY Z este raza cercului înscris în 4XY Z.Cătălin Calistru, IaşiSoluţie. Dacă R este raza cercului circumscris hexagonului, este cunoscutărelaţiar XY Z =4R sin X 2 sin Y 2 sin Z ,undeXY Z este un triunghi având vârfurile comune2cu hexagonul. Vom demonstra întâi următoareaLemă. Dacă A 1 A 2 A 3 A 4 este un patrulater inscriptibil, atuncir A1 A 2 A 3+ r A1 A 3 A 4= r A1 A 2 A 4+ r A2 A 3 A 4.Într-adevăr, cu notaţiile din figură, vom avea:³r A1 A 2 A 3+ r A1 A 3 A 4=4R sin α 2 sin β 2 sin γ + δ2 ++sin γ 2 sin δ 2 sin α + β ´;2³r A1A 2A 4+ r A2A 3A 4=4R sin β 2 sin δ 2 sin α + γ +2+sin α 2 sin γ 2 sin β + δ ´2şi dezvoltând sin γ + δ =sin γ 2 2 cos δ 2 +sinδ 2 cos γ etc., obţinem concluzia lemei.2Aplicând lema patrulaterelor inscriptibile A 1 A 2 A 3 A 6 şi A 3 A 4 A 5 A 6 şi sumândmembru cu membru egalităţile obţinute, găsim tocmai relaţia de demonstrat.Notă. Aceeaşi soluţie a fost dată deVlad Emanuel, student, Bucureşti.L128. Să searatecă între medianele unui triunghi are loc inegalitatea³Y ´ hY8 ma´³Xm2a m 2 b ≥ (ma + m b )ih2 X m 2 am 2 b − X im 4 a .Dorel Băiţan şi I.V.Maftei, BucureştiSoluţie. Avem, folosind cunoscutele x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + xz + yz, sin A 2 ≤ ab + cşi 4R sin A 2 sin B 2 sin C = r, că2a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc (a + b + c) ≥ (b + c)sin A 2 (c + a)sinB 2 (a + b)sinC 2 · 2p ==sin A 2 sin B 2 sin C · 2p · (a + b)(b + c)(c + a) =2= r 2SS(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b)(b + c)(c + a) (1)4R r 2R165
Page 1:
Anul X, Nr. 2Iulie - Decembrie 2008
Page 6:
A colaborat la elaborarea unui trat
Page 10 and 11:
pământ primele capitole elevate d
Page 12 and 13:
de "Gazeta Matematică".La 125 de a
Page 14 and 15:
calendarul iudaic). De la data Conc
Page 16:
mecanic virtual".CursulluiM.Tzony(
Page 22 and 23:
Câteva probleme de teoria numerelo
Page 24 and 25: Soluţie. De astă dată, pe lâng
Page 26 and 27: Se demonstrează imediatcă H 1 H 2
Page 28 and 29: În scopul propus, să notăm x n =
Page 30 and 31: Cercuri semiînscriseşi puncte de
Page 32 and 33: O rafinare a inegalităţii lui Jen
Page 34 and 35: Asupra unor inegalităţi geometric
Page 36 and 37: Grupând convenabil, obţinem(3ab +
Page 38 and 39: Oproblemă şi ... nouăsoluţiiGhe
Page 40 and 41: utină, rezultă că DN = a ¡ 3+
Page 42 and 43: où µ, ν sont des réels arbitrai
Page 44 and 45: Concursul de matematică “Al. Myl
Page 46 and 47: 2. Determinaţi numerele n ∈ N, n
Page 48 and 49: din cele patru colţuri, se poate a
Page 50 and 51: două triunghiuri dreptunghice. Dac
Page 52 and 53: 1RRf (x) dx. Deducem că 2 1 Rx (f
Page 54 and 55: şi calculează câtenumerediferite
Page 56 and 57: a) Să searatecăînfermănupotfi10
Page 58 and 59: VI.84. Pentru n ∈ N ∗ , definim
Page 60 and 61: a) dacă a 3 − b 3 = a + b, atunc
Page 62 and 63: 2b =0.Atunci(m + n)(m + n +1)af (1)
Page 64 and 65: = x 1 x 2 − 2, de unde rezultă c
Page 66 and 67: g (x) =x 3 − e −x +1 este stric
Page 68 and 69: u 2 n +9. Deoarece (u n ) este conv
Page 70 and 71: a 0 a 2 Y 2n−1 + ···+ a 2n0 a
Page 72 and 73: Prin urmare, este suficient să dem
Page 76 and 77: Apoi, să observăm că are loc ide
Page 78 and 79: aluik; pentru aceasta, ar trebui s
Page 80 and 81: Clasele primareProbleme propuse 1P.
Page 82 and 83: VI.98. Determinaţi cel mai mic num
Page 84 and 85: IX.94. În 4ABC, I este centrul cer
Page 86 and 87: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 88 and 89: L153. Găsiţi toate funcţiile f :
Page 90 and 91: L149. Determine the position of the
Page 92 and 93: 2. Să se rezolve sistemul de ecua
Page 95 and 96: Revista semestrială RECREAŢII MAT
show all

Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?