Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

Clasa a VIII-aVIII.95. Pentru a, b, c ∈ R ∗ ,notăm α = a b + b c + c a , β = a c + c b + b a . Calculaţinumărul x = a3b 3 + b3c 3 + c3în funcţie α şi β.a3 Elena Nicu, Malu-Mare (Dolj)VIII.96. Rezolvaţi în numere naturale ecuaţia x 2 + y 2 + xy = x 2 y 2 .Mihail Bencze, BraşovVIII.97. Fie d 1 , d 2 , d 3 , d lungimile diagonalelor feţelor, respectiv diagonalei unuiparalelipiped dreptunghic. Dacă d 2 1 = 2d2 2d 2 3d 2 2 + ,săsearatecă paralelipipedul are od2 3muchie de lungime cel puţin egală cu d√ 33 . Gheorghe Molea, Curtea de ArgeşVIII.98. Fie VABCD piramidăpatrulaterăregulată. Notăm u=m( (VBC),(ABC)), \v = m( (VBC) \ , (VCD)) şi t = m( (VBC) \ , (VAD)). Arătaţi că u + v + t>180 ◦ .Claudiu Ştefan Popa, IaşiVIII.99. Pentru n ∈ N ∗ ,considerăm A = © 1 2 , 2 2 , 3 2 ,...,n 2ª . Determinaţi n,ştiind că existăofuncţie f : A → A astfel încât f (x) − f (y) = √ x − √ y, ∀x, y ∈ A.Cristian Lazăr, IaşiVIII.100. Rezolvaţi în în N 2 ecuaţia x 2 − 8 n + 1287 = 0.Mihai Crăciun, PaşcaniVIII.101. Se calculează suma cifrelor pentru fiecare dintre numerele de la 1 lan, n>10. Pentru fiecare sumă dintre cele n se calculează din nou suma cifrelor,repetându-se aceastăoperaţie pânăcândobţinem n numere formate din câte o singurăcifră. Să seaflen, ştiind că înmulţimea astfel obţinută cifrele1, 2, 3 şi 4 se repetăde câte 101 orifiecare,iarcifrele5, 6, 7, 8 şi 9 de câte 100 ori fiecare.Mihai Haivas, IaşiClasa a IX-aIX.91. Fie a, b, c, p ∈ R, p>0. Dacă ¯¯ax ¯2 + bx + c¯¯ ≤ p, ∀x ∈ [−1, 1], atunci¯cx 2 + bx + a¯¯ ≤ 2p, ∀x ∈ [−1, 1].Dorin Mărghidanu, CorabiaIX.92. Fie n ∈ N, n ≥ 3, iarα, β ∈ R astfel încât n + α + β 6= 0.Arătaţi căn−2(1 + α) ···(n + α)X− (1 + α) ···(n − 1+α)+ (−1) i+1 (1 + α) ···(n − i − 1+α)×n + α + β×β (β +1)···(β + i − 1) + (−1) n β ···(β + n − 2) = (−1) n β (β +1)···(β + n − 1).n + α + βGheorghe Costovici, IaşiIX.93. Fie 4ABC dreptunghic cu m( A)=90 b ◦ şi ABAC = 3 ,iarD mijlocul lui2[AC]. Notăm cu E punctul de intersecţie a cercurilor C 1 (A, AD) şi C 2 (B,BC), aflatde aceeaşi parte a dreptei AB ca şi punctul C. Determinaţi măsura unghiului [CAE.Cătălin Ţigăeru, Suceava173i=1