Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

= x 1 x 2 − 2, de unde rezultă că a, b ∈ Z, deci 2a 2 + b 2 ∈ N. Înplus,2a 2 + b 2 =2(x 1 + x 2 ) 2 +(x 1 x 2 − 2) 2 = ¡ x 2 1 +2 ¢¡ x 2 2 +2 ¢şi concluzia se impune.Notă. Într-o formă puţin modificată, problema a apărut în RMT 2/2007, cunumărul IX.216, sub semnătura aceluiaşi autor.IX.82. Determinaţi funcţiile f : R → R pentru caref ¡ x 4 + y 3 + z 2 + t ¢ = f (x)+f ¡ y 2¢ + f ¡ z 3¢ + f ¡ t 4¢ , ∀x, y, z, t ∈ R.Lucian Tuţescu şi Liviu Smarandache, CraiovaSoluţie. Pentru x = y = z = t =0,găsim f (0) = 0. Dacă y = z =0, atuncif ¡ x 4 + t ¢ = f (x)+f ¡ t 4¢ , ∀x, t ∈ R. Pentru t = −x 4 ,găsim că f ¡ x 16¢ = −f (x),∀x ∈ R. Cum f ¡ x 4¢ = f (x), x ∈ R, deducem că f ¡ x 16¢ ³ ¡x4= f¢ 4´= f ¡ x 4¢ =f (x), ∀x ∈ R. Prin urmare f (x) =−f (x), ∀x ∈ R, adică f (x) =0, ∀x ∈ R.IX.83. Pentru a ≥ 9, să se demonstreze că are loc inegalitateaq3+ √ q3a +9≥ 1+ 1+ √ a.Marian Tetiva, BârladSoluţie. Pentru a =9avem egalitate; să arătăm că are loc strict inegalitateadin enunţ pentrua>9. Prin ridicare la pătrat şi cu notaţia a = x 2 , x>3, obţinemsuccesiv:1+ √ q3a +9> 2 1+ √ a + √ a ⇔ 1+ p 3x 2 +9> 2 √ 1+x + x ⇔⇔ p 3x 2 +9− (x +3)≥ 2 ¡√ 1+x − 2 ¢ 2x (x − 3) 2(x − 3)⇔ √ > √ ⇔3x2 +9+x +3 1+x +2x⇔ √3x2 +9+x +3 > 1√ ⇔ x ¡√ 1+x +1 ¢ > p 3x 2 +9+3.1+x +2Această dinurmă inegalitate rezultă adunând x>3 şi x √ 1+x> √ 3x 2 +9 (carerevine la √ x 3 + x 2 > √ 3x 2 +9, evident pentru x>3).IX.84. Fie ABC un triunghi. Determinaţi numerele întregi a, b, c nenule, primeîntre ele două câte două, astfel încât punctele M, N, P să fie coliniare, unde M, N,P sunt determinate prin condiţiile −−→ AM = a −→ −−→ −→ −→ −→AB; CN = bCA; CP = cBC.Ioan Săcăleanu, HârlăuSoluţie. Exprimând vectorii −−→ NP şi −−→ MN în funcţie de −→ −→AC şi BA, obţinem că−−→NP =(b + c) −→ AC + c −→ −−→ −→ −→BA şi MN =(1− b) AC − aBA. Deoarece punctele M, N, Psunt coliniare, rezultă că vectorii −−→ NP şi −−→ MN sunt coliniari; folosind relaţiile precedente,găsim condiţia ab + ac + bc = c. De aici rezultăcă c | ab şi cum c este primcu a şi b, deducem că c ∈ {−1, 1}. Pentru c =1găsim soluţiile a = −3, b = −2sau a = −2, b = −3. Pentru c = −1 găsim soluţiile a =1, b ∈ Z (în acest cazM = P = B) saua ∈ Z, b =1(în acest caz N = A şi P = B).IX.85. Fie ABC un triunghi ascuţitunghic şi D =pr BC A, E =pr CA B, F =pr AB C.Demonstraţi echivalenţa afirmaţiilor următoare:(i) 4ABC este isoscel;154