Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

În scopul propus, să notăm x n = aa...a| {z }bcc...c| {z }d, n ∈ N ∗ .Putemscrien nx n = aa...a| {z }· 10 n+1 − a · 10 n+1 + b · 10 n+1 + cc...c| {z }+ d − c =n+1n+1= aa...a| {z }· ¡10 n+1 − 1 ¢ +(b − a) ¡ 10 n+1 − 1 ¢ + aa...a| {z }+ cc...c| {z }+ d − c + b − a,n+1n+1 n+1adică2x n =9a11| {z...1} +(9b + c − 8a) · 11| {z ...1}+ b + d − a − c, n ∈ N ∗ . (∗)n+1n+1Acum, să observăm că în(∗) coeficienţii 9a, 9b + c − 8a şi b + d − a − c sunt aceiaşipentru orice n ∈ N ∗ (ei reflectând numai forma lui x n ). Ca urmare dacă trinomuldin membrul doi este pătrat perfect pentru o valoare particulară aluin, atunci vaavea această proprietate pentru orice n ∈ N ∗ .Acestfaptverificându-se direct pentrun =4, vom deduce că numerele (1) − (11) sunt cele căutate.Observaţia 1. i) Cititorul poate observa că, pentru 1 ≤ n ≤ 3, existăpătrateperfecte de forma aa...a| {z }bcc...c| {z }d care nu apar printre cele unsprezece. Un exemplun npentru n =2: 344 2 = 118336. Mai precis, pentru n =2,există18pătrate perfectede forma enunţată, iar pentru n = 3, numărul lor este 12. În cazul n =1,numărullor este mult mai mare, căci problema se reduce la identificarea pătratelor perfectecu patru cifre ale sistemului zecimal.ii) Elevul Aursulesei Tudor, căruia îi mulţumim şi cu acest prilej, a verificat prinintermediul calculatorului faptul că, pentru 4 ≤ n ≤ 14, singurele pătrate perfectede forma aa...a| {z }bcc...c| {z }d sunt exact cele unsprezece prezentate mai sus.n nObservaţia 2. i) Singurele pătrate perfecte de forma aa...abb...bc, ∀n ∈ N ∗sunt: 11| {z...1}55| {z...5}6, n ∈ N ∗ şi 44| {z...4}88| {z...8}9, n ∈ N ∗ .n+1 nn+1 n| {z }n+1| {z }nii) Singurul pătrat perfect de forma aa...a| {z }bb...b| {z }c, ∀n ∈ N ∗ este 44| {z...4}22| {z...2}5,n n+1n n+1n ∈ N ∗ .Aplicaţii1. Să searatecănumărul N = 11| {z...1}22| {z...2}5 este pătrat perfect (OBM -1997 1998juniori, Atena, 1998) [1].Este un caz particular al rezultatului (4); N = 33| {z...3}5 2 .19972. Să se determine cifrele x şi y, x 6= 0,dacă xx...x| {z }6 yy...y4 este pătrat| {z }n nperfect, pentru orice n ∈ N ∗ .Rezolvarea problemei decurge din (8) şi (10), deci avem (x, y) ∈ {(4, 2) , (9, 0)}.118