Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

Cercuri semiînscriseşi puncte de tip Gergonne sau NagelTemistocle BÎRSAN 1Fie ABC un triunghi oarecare. Pentru cercurile circumscris, înscris, A-exînscrisetc. folosim notaţiile uzuale: C (0,R), C (I,r), C (I a ,r a ) etc. Punctele de tangenţăadrepteiBC cu cercurile C (I,r) şi C (I a ,r a ) se notează D şi D 0 ;cuE, E 0 şi F , F 0notăm punctele cu semnificaţii similare relativ la dreptele CA şi, respectiv, AB.Este cunoscut faptul că dreptele AD, BE şi CF sunt concurente (într-un punctΓ — punctul lui Gergonne) şi, de asemenea, faptul că dreptele AD 0 , BE 0 şi CF 0 suntconcurente (într-un punct N — punctul lui Nagel).Se asociază triunghiului ABC trei cercuri semiînscrise: C (J 1 ,ρ 1 ), C (J 2 ,ρ 2 ),C (J 3 ,ρ 3 ) (C (J 1 ,ρ 1 ) fiind cercul tangent dreptelor AB şi AC şi tangent interior cerculuicircumscris triunghiului etc.), precum şi trei cercuri ex-semiînscrise: C (J a ,ρ a ),C (J b ,ρ b ), C (J c ,ρ c ) (C (J a ,ρ a ) fiind cercul tangent dreptelor AB şi AC şi tangentexterior cercului C (O, R) etc.). Observăm că avem un singur cerc înscris, dar treicercuri semiînscrise; pe de altă parte,numărul cercurilor exînscrise este egal cu cel alcelor ex-semiînscrise. Privitor la cercurile semiînscrise, un număr de proprietăţi alelor sunt date în [3] şi [1].Ne propunem în această Notăsă"trecem" cele două rezultate mai susmenţionate la cercurile semiînscriseşi ex-semiînscrise.În scopul propus, să notăm D 1 şiD a punctele de tangenţă a cercurilorC (J 1 ,ρ 1 ) şi, respectiv, C (J a ,ρ a ) cuC (O, R); E 1 , E b şi F 1 , F c au semnificaţiianaloage.Odată cu trecerea de la cerculC (I,r) la cele trei cercuri semiînscriseC (J i ,ρ i ) (i = 1, 2, 3), estefiresc să considerăm în rolul cevienelorGergonne AD, BE şi CFcevienele AD 1 , BE 1 şi, respectiv,CF 1 . Similar, în locul cevienelorNagel AD 0 , BE 0 şi CF 0 săconsiderămcevienele AD a , BE b şi, respectiv,CF c legate de cercurile exsemiînscriseC (J a ,ρ a ) etc.Vom arăta că rezultatelor clasice de mai sus le corespund cele din următoareaTeoremă. a) Cevienele AD 1 , BE 1 şi CF 1 sunt concurente în centrul S alomotetiei directe a cercurilor C (O, R) şi C (I,r).1 Prof. dr., Universitatea Tehnică "Gh.Asachi",Iaşi120