Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

două triunghiuri dreptunghice. Dacă celedouă triunghiuri au aceeaşi arie şi acelaşiperimetru, să searatecă ele sunt congruente.Clasa a VIII-a1. Să se afle valoarea fracţiei x + y , ştiind că 0
a) Arătaţi că funcţia F :(0, ∞) → R, F (x) =2 √ x (ln x − 2), este o primitivăpentru funcţia f.b) Demonstraţi că orice primitivă G afuncţiei f este crescătoare pe [1, ∞).c) Aflaţi aria suprafeţei cuprinse între graficul lui f, axaOx şi dreptele de ecuaţiix = 1 şi x = e.e Subiect propus pentru Bacalaureat-2008Problema 2. Fie (A, +, ·) un inel de caracteristică 3(3x =0, ∀x ∈ A ) şi a ∈ Aun element oarecare. Fie M = © x ∈ A | x 3 = ax = xa ª şi b ∈ M cu proprietatea căb comută cu orice element din A.a) Demonstraţi că b − x ∈ M, oricare ar fi x ∈ M.b) Să searatecă, dacă a ∈ A are în plus proprietatea că există n ∈ N ∗ pentrucare a n =1, atunci x +(b − x) 2n+1 ∈ M, oricare ar fi x ∈ M.Ion Bursuc, SuceavaProblema 3. Dacă f :[0, 1] → R este funcţia continuă, atunciZ 10x (f (x)+f (1 − x)) dx =Z 10f (x) dx.Dumitru Crăciun, FălticeniProblema 4. Se consideră numerele prime distincte p şi q, astfelîncâtp−q =2r,cu r ≥ 3 prim.a) Arătaţi că p − q | p q − q p dacă şi numai dacă p − q | q p−q − 1.b) Demonstraţi că p − q | p q − q p dacă şi numai dacă q 2 ≡ 1 (mod (p − q)).Cătălin Ţigăeru, SuceavaPrima problemă fiind una cunoscută, prezentăm doar soluţiile celorlaltor trei.Problema 2. a) Observăm că (α − x) 3 = α 3 − 3α 2 x +3αx 2 − x 3 = α 3 − x 3 =α 3 − ax. Cum α ∈ M, atunci α 3 = αa = aα, deundededucemcă (α − x) 3 =aα − ax = αa − xa = a (α − x) =(α − x) a.b) Demonstrăm prin inducţie că x 2m+1 = a m x, pentru orice x ∈ M şi m ∈ N ∗ .Pentru m =1,relaţia este adevărată. Presupunem că, dacă x ∈ M, atunci x 2k−1 =a k−1 x; atunci x 2k+1 = x 2k−1 x 2 = a k−1 xx 2 = a k−1 x 3 = a k−1 ax = a k x, ceea ceîncheie demonstaţia afirmaţiei iniţiale.Deoarece α−x ∈ M, atunci pentru orice număr m ∈ N ∗ ,rezultăcă (α − x) 2m+1 =a m (α − x). Luândm = n,obţinem că (α − x) 2n+1 = α−x, de unde x+(α − x) 2n+1 =α ∈ M, ceea ce trebuia demonstrat.RProblema 3. Făcănd o schimbare de variabilă, se arată că bf (x) dx =aR= bf (a + b − x) dx, ∀f :[a, b] → R continuă. Aplicând de două ori acest rezultat,obţinem că 1 RaRf (x) dx = 1 Rf (1 − x) dx, respectiv 1 x (f (x)+f (1 − x)) dx =001RR(1 − x)(f (x)+f (1 − x)) dx, de unde 2 1 Rx (f (x)+f (1 − x)) dx = 1 f (1 − x) dx +0014100
Page 1: Anul X, Nr. 2Iulie - Decembrie 2008
Page 6: A colaborat la elaborarea unui trat
Page 10 and 11: pământ primele capitole elevate d
Page 12 and 13: de "Gazeta Matematică".La 125 de a
Page 14 and 15: calendarul iudaic). De la data Conc
Page 16: mecanic virtual".CursulluiM.Tzony(
Page 22 and 23: Câteva probleme de teoria numerelo
Page 24 and 25: Soluţie. De astă dată, pe lâng
Page 26 and 27: Se demonstrează imediatcă H 1 H 2
Page 28 and 29: În scopul propus, să notăm x n =
Page 30 and 31: Cercuri semiînscriseşi puncte de
Page 32 and 33: O rafinare a inegalităţii lui Jen
Page 34 and 35: Asupra unor inegalităţi geometric
Page 36 and 37: Grupând convenabil, obţinem(3ab +
Page 38 and 39: Oproblemă şi ... nouăsoluţiiGhe
Page 40 and 41: utină, rezultă că DN = a ¡ 3+
Page 42 and 43: où µ, ν sont des réels arbitrai
Page 44 and 45: Concursul de matematică “Al. Myl
Page 46 and 47: 2. Determinaţi numerele n ∈ N, n
Page 48 and 49: din cele patru colţuri, se poate a
Page 52 and 53: 1RRf (x) dx. Deducem că 2 1 Rx (f
Page 54 and 55: şi calculează câtenumerediferite
Page 56 and 57: a) Să searatecăînfermănupotfi10
Page 58 and 59: VI.84. Pentru n ∈ N ∗ , definim
Page 60 and 61: a) dacă a 3 − b 3 = a + b, atunc
Page 62 and 63: 2b =0.Atunci(m + n)(m + n +1)af (1)
Page 64 and 65: = x 1 x 2 − 2, de unde rezultă c
Page 66 and 67: g (x) =x 3 − e −x +1 este stric
Page 68 and 69: u 2 n +9. Deoarece (u n ) este conv
Page 70 and 71: a 0 a 2 Y 2n−1 + ···+ a 2n0 a
Page 72 and 73: Prin urmare, este suficient să dem
Page 74 and 75: când α =90 ◦ . În cazul nostru
Page 76 and 77: Apoi, să observăm că are loc ide
Page 78 and 79: aluik; pentru aceasta, ar trebui s
Page 80 and 81: Clasele primareProbleme propuse 1P.
Page 82 and 83: VI.98. Determinaţi cel mai mic num
Page 84 and 85: IX.94. În 4ABC, I este centrul cer
Page 86 and 87: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 88 and 89: L153. Găsiţi toate funcţiile f :
Page 90 and 91: L149. Determine the position of the
Page 92 and 93: 2. Să se rezolve sistemul de ecua
Page 95 and 96: Revista semestrială RECREAŢII MAT

Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?