Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

L134. Avem un colier cu n mărgele, numerotate consecutiv 1, 2,...,n, unden ≥ 3. În câte moduri putem să le colorăm cu trei culori, astfel încât oricare douămărgele consecutive să aibă culori diferite?Iurie Boreico, elev, ChişinăuSoluţie. Notăm cu a n numărul modalităţilor de colorare şi vom calcula a n recursiv.Evident că a 2 = a 3 =6. Fie n ≥ 4; putem alege culoarea mărgelei 1 în3 moduri, iar culorile mărgelelor 2, 3,...,n în câte două moduri, obţinând astfel3 · 2 n−1 modalităţi de colorare în care mărgelele 1 şi 2, 2 şi 3, ..., n − 1 şi n auculori diferite. Mai avem însă ocondiţie: ca mărgelele n şi 1 să aibăculoridiferite;atunci 3 · 2 n−1 = a n + b n ,undeb n este numărul colorărilor de tipul descris mai suspentru care mărgelele 1 şi n au aceeaşi culoare. Observăm că b n = a n−1 , suprimareamărgelei n dând o corespondenţă bijectivă întrenumărul colorărilor corespunzătoare,prin urmare a n−1 + a n =3· 2 n−1 .Avem că a n + a n+1 =3· 2 n şi, prin scădere, a n+1 − a n−1 =3· 2 n−1 . Deducem căa 2k+1 =3 ¡ 2 2k−1 +2 2k−3 + ···+2 3¢ + a 3 =6 ¡ a 2k−2 + ···+2 2 +1 ¢ =6 22k − 12 2 − 1 =2 2k+1 − 2. Cuma 2k + a 2k+1 =3· 2 2k ,vomaveacă a 2k =2 2k +2.Răspunsul poatefi scris sub forma a n =2 n +2· (−1) n .L135. Se consideră un poligon cu 3n laturi, n ≥ 2, înscris într-un cerc de rază1. Arătaţi că celmult3n 2 dintre segmentele având capetele în vârfurile poligonuluiau lungimea strict mai mare decât √ 2.Bianca-Teodora Iordache, elevă, CraiovaSoluţie. Evident că oricum am alege 4 puncte pe cercul de rază 1, existădouă printreacesteasituatelaodistanţă cel mult egală cu √ 2. Considerăm grafulG (X, U), undeX este mulţimea vârfurilor poligonului iniţial, iar două vârfurivorfi unite printr-o muchie dacă şi numai dacă distanţa dintre ele este strict mai maredecât √ 2. Conform observaţiei iniţiale, oricum am alege 4 vârfuri ale grafului, existădouă care nu sunt unite printr-o muchie, deci G nu conţine subgrafuri complete deordin 4. Aplicăm acum următorul rezultat:Teorema lui Turan. Dacă G =(X, U) este un graf neorientat cu n vârfuri cenu conţine subgrafuri complete de ordin p, iarr este restul împărţirii lui n la p − 1,atunci|U| ≤ p − 2p − 1 · n2 − r 2 r (r − 1)+ .2 2În cazul nostru avem 3n vârfuri, p =4, r =0, prin urmare |U| ≤ 3n 2 , deci celmult 3n 2 distanţe formate cu vârfurile poligonului iniţial sunt strict mai mari ca √ 2.Notă. Soluţie asemănătoare a dat Vlad Emanuel, student, Bucureşti.169