Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

⇔ab sin 60◦2+⇔ A AOB + A BOC = A AOC ⇔bc sin 30◦2= ac2 ⇔ ab√ 3+bc =2ac ⇔ 1 a + √3c = 2 b .VIII.86. Opiramidă hexagonală regulată VABCDEF are muchia bazei AB =4cm şi înălţimea VO =4 √ 2 cm. Fie M mijlocul lui VD, {P } = AD ∩ BF, iar{Q} = PM ∩ (VCF). Săsearatecă:a) dreptele VP şi DQ sunt concurente; b) DQ ⊥ (VBF).Gabriel Popa, IaşiSoluţie. a) Cum (VAD)∩(VCF)=VO, PM ⊂ (VAD),iar {Q} = PM ∩ (VCF), înseamnăcă Q ∈ VO. Astfeldreptele VP şi DQ sunt ambele incluse în planul (VAD),cu Q ∈ Int VPD şi de aici urmează concurenţa dorită.b) Observăm că BF ⊥ AD şi BF ⊥ VO (VO⊥ (ABC)),de unde BF ⊥ (VAD), prin urmare BF ⊥ DQ. Vom maiarăta că DQ ⊥ VP şiatuncivarezultacă DQ ⊥ (VBF).Avem că PO =2cm, deci VP = √ VO 2 + OP 2 =6cm, iarPD = PO + OD =6cm. Deducem că 4PDV este isoscel,iar mediana bazei PM va fi şi înălţime. Astfel, Q va fi ortocentru în 4VPD,prinurmare DQ ⊥ VP.VIII.87. Considerăm prisma triunghiulară regulată ABCA 0 B 0 C 0 şi cubulAMCNA 0 M 0 C 0 N 0 ,undeM este punct interior triunghiului ABC. Fie E, F , E 0 ,F 0 mijloacele muchiilor [AB], [BC], [A 0 B 0 ],respectiv[A 0 C 0 ].a) Aflaţi măsura unghiului dintre dreptele EF 0 şi E 0 F .b) Aflaţi măsura unghiului format de planele (MCC 0 ) şi (ECC 0 ).Claudiu Ştefan Popa, IaşiSoluţie. a) Fie l = AB, h = AA 0 ;cumAC = AM √ 2şi AM = AA 0 = h, deducem că l = h √ 2. În 4A 0 B 0 C 0 echilateral,avem că C 0 E 0 = l√ 32= h√ 62 ,iardin4CC0 F dreptunghicobţinem că C 0 F = h√ 62 .Seobservăuşor că EFC0 F 0este paralelogram, deci EF 0 k FC 0 , EF 0 = FC 0 . Rezultă căm( EF\0 ,E 0 F )=m( FC\0 ,E 0 F )=m( \C 0 FE 0 ). Din motive desimetrie, E 0 F = EF 0 = FC 0 = h√ 6şi astfel 4FC 0 E 0 este echilateral, prin urmare2măsura unghiului dorit este de 60 ◦ .b) Unghiul planelor este E\0 C 0 M 0 ,acărui măsură estem( A\0 C 0 M 0 )−m( A\0 C 0 E 0 )=45 ◦ − 30 ◦ =15 ◦ .Clasa a IX-aIX.81. Fie a, b ∈ R. Dacăecuaţia x 2 +ax+b+2 = 0 areambelerădăcini întregi,arătaţi că numărul 2a 2 + b 2 este natural compus.Dorin Mărghidanu, CorabiaSoluţie. Dacă x 1 ,x 2 ∈ Z sunt soluţiile ecuaţiei date, atunci a = − (x 1 + x 2 ) şi153