Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

L153. Găsiţi toate funcţiile f : R → R cu proprietatea căf ¡ x 2 + xy + yf (y) ¢ = xf (x + y)+f 2 (y) , ∀x, y ∈ R.Adrian Zahariuc, student, PrincetonL154. Fie P ∈ R [X] un polinom de gradul n şi p : R → R funcţia polinomialăasociată. Ştiind că mulţimea {x ∈ R | p (x) =0} are k elemente (distincte), iarfuncţia f : R → R, f (x) =|p (x)| este derivabilă peR, h arătaţi că numărul maxim denirădăcini complexe nenule ale lui P este egal cu 2 − 2k.2Vlad Emanuel, student, BucureştiL155. Fie A, B ∈ M 2 (C) două matrice astfel încât matricea AB − BA să fieinversabilă. Să searatecă urma matricei (I 2 + AB)(AB − BA) −1 este egală cu1.Florina Cârlan şi Marian Tetiva, BârladTraining problems for mathematical contestsA. Junior highschool levelG146. Let x, y, z ∈ (0, ∞) such that xyz =1.Provethatxy 3x 4 + y + z + yz 3y 4 + z + x + zx 3z 4 + x + y ≥ 1.Liviu Smarandache and Lucian Tuţescu, CraiovaG147. Let n ∈ N, n ≥ 2 be a fixed number and let a, b, c be natural numbersh n − 1isuch that na +(n +1)b +2nc = n 2 +1. Show that n − ≤ a + b + c ≤ n.2Gheorghe Iurea, IaşiG148. Let a 1 a 2 ...a p ∈ N. Show that every natural number has a multiple ofthe form a 1 a 2 ...a p a 1 a 2 ...a p ...a 1 a 2 ...a p 0 ...0.Marian Panţiruc, IaşiG149. a) Determine two prime numbers p, q so that p