Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

scrie sub forma 1+x >a, ∀x ∈ (0, 1), decia ≤x − x2 suph (x), unde h :(0, 1) → R,x∈(0,1)h (x) = 1+xx − x 2 .Găsim cu uşurinţă a ≤ 3+2√ 2, prin urmare y = ax 2 +(1− a) x+1,a ∈ ¡ −∞, 3+2 √ 2 ¤ R\{0}. Cum aria cerută înenunţesteA = 1y (x) dx = 9 − a06 ,obţinem că A este minimă pentrua maxim, deci a =3+2 √ 2,iarA min = 3 − √ 2.3XII.82. Determinaţi primitivele funcţiei ¡ f :(1, ∞) → R,f (x) = x3 5x 4 +3 ¢ (ln x − 1)(x 4 − 1) 3 .Dan Nedeianu, Dr. Tr. SeverinSoluţie. Cu substituţia x 4 − 1=t, avemdecalculatZ1 (5t +8)(ln(t +1)− 4)16t 3 dt == 1 µ Z Z 5t +8 5t +8−416 t 3 dt +t 3 ln (t +1)dt .Calculând a doua integrală prinpărţi şi înlocuind t cu x 4 − 1, găsim căZx 4f (x) dx =(x 4 − 1) 2 − x8 +3x 44(x 4 − 1) 2 ln x + 1 16 ln ¡ x 4 − 1 ¢ + C.XII.83. Să se determine funcţiile continue f : R → R pentru careZ xf (x) =|x| + e −t f (x − t) dt, ∀x ∈ R.0Dumitru Mihalache, BârladSoluţie. Cu schimbarea de variabilă x − t = u, aducem ecuaţia funcţionalăRla forma f (x) =|x| + x Re −x+u f (u) du. Notând x e u f (u) du = F (x), deducem că0e x f (x) =F 0 (x), ∀x ∈ R şi ecuaţia devine e −x F 0 (x) −(e −x F (x) =|x|, ∀x ∈ R, sauîncă (e −x F (x)) 0 −= |x|, ∀x ∈ R. Considerând G (x) =x22 ,x