Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

) Cevienele AD a , BE b şi CF c sunt concurente în centrul S 0 al omotetiei inversea cercurilor C (O, R) şi C (I,r).Demonstraţie. a) Evident, omotetia HA k ,cuk = ρ 1, transformă cerculC (I,r)rîn C (J 1 ,ρ 1 ),pecândomotetiaHD k01,cuk 0 = R , transformă C (J 1 ,ρρ 1 ) în C (O, R). Ca1urmare, produsul HD k01◦ HA k are centrul pe AD 1 şi raportul kk 0 = ρ 1r · R = R ρ 1 r .Cumtransformă C (I,r) în C (O, R), acest produs coincide cu omotetia directă aacestorcercuri. În consecinţă, AD 1 trece prin S — centrul omotetiei directe a cercurilorC (I,r) şi C (O, R) (situat pe OI şi definit de relaţia SO = R SI). Similar se aratărcă drepteleBE 1 şi CF 1 trec prin S.b) Se procedează lafel. HA t ,cut = ρ ar , transformă C (I,r) în C (J a,ρ a ), iarHD t0a,cut 0 = − R , transformă C (J a ,ρρ a ) în C (O, R). Omotetia produs HD t0a◦ HA t ,acu raportul tt 0 = − R ,coincidecuomotetiainversă a cercurilor C (I,r) şi C (O, R).rAD a conţine centrul S 0 al acestei din urmă omotetii (situat pe OI şi determinat deS 0 O = − R r S0 I). Se arată similar că şi BE b , CF c trec prin S 0 . Q.e.d.Observaţia 1. Demonstraţia standard pentru concurenţa cevienelor Gergonne(sau Nagel) se bazează pe reciproca teoremei lui Ceva. Acest instrument poate fiutilizat şi pentru stabilirea afirmaţiilor a) şi b), darcupreţul unor calcule laborioase.Astfel, dacă notăm X = BC ∩ AD 1 ,segăseşte că BXXC = c2b 2 · p − b (2p = a + b + c).p − cAceastă relaţie şi cu analoagele ei fac posibilă aplicarea reciprocei teoremei lui Cevaşi, deci, dovedirea concurenţei dreptelor AD 1 , BE 1 , CF 1 . Faptul că S este punctullor de concurenţă devine o chestiune de rutină, care cere noi calcule; de exemplu, sepoate utiliza Propoziţia2din[2] şi lista de coordonate triliniare din [4]. În concluzie,este preferabilă demonstraţia dată pebazaprodusuluiadouă omotetii.Observaţia 2. În [3], sub formă deproblemăpropusă cititorilor spre rezolvare,este afirmată concurenţa dreptelor AD 1 , BE 1 , CF 1 (cu alte notaţii), fără afifăcutăvreo precizare asupra punctului lor de concurenţă.Observaţia 3. În [5], într-o interesantă Notă de geometria triunghiului, centrelede omotetie S şi S 0 apar ca puncte de concurenţă ale altor două triplete de drepteasociate unui triunghi dat.Bibliografie1. R. Bairac - Cercuri semiînscrise în triunghi, Delta, 1/2006, 12-15.2. T. Bîrsan - Ceviene izogonale şi puncte de concurenţă remarcabile, 9/2002, 321-326.3. A. Girici - Câteva probleme despre triunghiuri şi cercuri, Kvant, 11/1990, 46-48.4. C. Kimberling - Centrul Points and Central Lines in the Plane of a Triangle,Mathematics Magazine, 67(1994), no.3, 163-187.5. I. V. Maftei - Două puncte remarcabile într-un triunghi, G.M. (B) — 1/2008, 1-4.121