Kapitel 6 Entwurf des Reglers auf endliche Einstellzeit - Christian ...

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44 ⎛ t − T ⎞ ⎛ t − T ⎞ h (t) = r0 + r1 exp⎜− ⎟ + r2 exp⎜− ⎟ (6.2) ⎝ τ1 ⎠ ⎝ τ2 ⎠ Es wird die Stellfunktion u(t) gesucht. Sie ist eine Treppenfunktion mit n+1 Sprungstellen: u(t) = U 0 σ(t) + U 1 σ(t – T) + U 2 σ(t – 2T) (6.3) Abbildung 6.5: Typische Stellfunktion u(t) für endliche Einstellzeit bei einem System 2. Ordnung Für t > 2T ist u(t) im System 2. Ordnung konstant. Die Sprunghöhen U λ sind freie Parameter, die so gewählt werden, daß nach endlicher Zeit x(t) = W 0 ist. Um diese zu bestimmen, muß zunächst die Ausgangsgröße des Systems (Regelgröße) x(t) berechnet werden, die sich aus den Sprungantworten der Sprünge der Stellfunktion U 0 , U 1 , U 2 zusammensetzt: x(t) = 2 2 ∑ λ= 0 x(t) = ∑ U λ= 0 λ U h(t − λT) ⎡ ⎢r ⎣ 0 λ + r 1 ⎛ t − λT − T ⎞ exp ⎜− ⎟ + r ⎝ τ1 ⎠ 2 ⎛ t − λT − T ⎞⎤ exp ⎜− ⎟⎥ ⎝ τ2 ⎠⎦ Endliche Einstellzeit ist dann erreicht, wenn dieser Ausdruck gleich dem Sollwert W 0 gemacht werden kann:
45 W 0 = = 2 ∑ λ= 0 2 ∑ λ= 0 U U λ λ ⎡ ⎢r ⎣ 0 ⎡ ⎢r ⎣ 0 + r 1 + r 1 ⎛ t − λT − T ⎞ exp ⎜ − ⎟ + r ⎝ τ1 ⎠ ⎛ t − T ⎞ ⎛ − λT ⎞ exp ⎜ − ⎟ exp ⎜− ⎟ + r ⎝ τ1 ⎠ ⎝ τ1 ⎠ 2 ⎛ t − λT − T ⎞⎤ exp ⎜− ⎟⎥ ⎝ τ2 ⎠⎦ 2 ⎛ t − T ⎞ ⎛ − λT ⎞⎤ exp ⎜− ⎟ exp ⎜ − ⎟⎥ ⎝ τ2 ⎠ ⎝ τ2 ⎠⎦ 2 2 = ⎛ − ⎞ ⎛ − λ ⎞ ⎛ − ⎞ + ⎜− ⎟ ⎜− ⎟ + ⎜ − ⎟ ∑ 2 t T T t T r0∑ U λ r1 exp ∑ U λ exp r2 exp U λ= 0 ⎝ τ1 ⎠λ= 0 ⎝ τ1 ⎠ ⎝ τ2 ⎠λ= 0 λ ⎛ − λT ⎞ exp ⎜− ⎟ ⎝ τ2 ⎠ Diese Forderung ist für t > 2T genau dann erfüllt, wenn der konstante Term gleich W 0 ist und die Koeffizienten der e-Funktionen Null sind: 2 0∑ Uλ W0 λ= 0 r = 2 ∑ λ= 0 2 ∑ λ= 0 U U λ λ ⎛ − λT ⎞ exp ⎜ − ⎟ = 0 ⎝ τ1 ⎠ ⎛ − λT ⎞ exp ⎜ − ⎟ = 0 ⎝ τ2 ⎠ Mit ⎛ T ⎞ γ ν : = exp ⎜− ⎟ (6.4) ⎝ τν ⎠ ergibt dies das einfache Gleichungssystem: U 0 + U 1 + U 2 = W 0 / r 0 U 0 + γ 1 U 1 + γ 1 2 U 2 = 0 U 0 + γ 2 U 1 + γ 2 2 U 2 = 0 Dessen Lösungen sind unter Verwendung der Abkürzung W C = r 0 01 : (6.5) ( 1− γ 1 )( − γ 2 ) U 2 = C (6.6) U 1 = - C ( γ 1 + γ 2 ) (6.7) U 0 = C γ 1 γ 2 (6.8) Bisher wurde nur die Steuerung aufgrund von Vorinformationen über das System berechnet, was noch fehlt ist der Regler. Es soll etwaige Fehler, die aufgrund mangelnder Genauigkeit des Vorwissens in der Steuerung entstehen, ausregeln. Allerdings liefert die Rückführung ja auch bei exakter Funktion der Steuerung ein Signal an die Vergleichsstufe. Dieses rückgeführte Signal muß bei der Berechnung des Differenzsignals, aus dem der Regler die Stellfunktion u(t) erzeugen soll, berücksichtigt werden.
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