Kapitel 6 Entwurf des Reglers auf endliche Einstellzeit - Christian ...

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6.8 Wahl der Abtastzeit T
Nach der Zeit t e = T t + nT hat der Regler endlicher Einstellzeit die Regelgröße x auf den
Sollwert W 0 geregelt. Die Geschwindigkeit des Reglers wird also von der Ordnung n, der
Abtastzeit T und der Totzeit T t (die als ein Vielfaches von der Abtastzeit gewählt wird)
bestimmt, wobei nur T nicht fest vorgegeben ist.
Die minimale Abtastzeit ergibt sich aus der Geschwindigkeit der Wandler und der Rechenzeit.
Da die AD-Wandlung ca. 11 µs, die DA-Wandlung ca. 3 µs und die Berechnung des Reglers
ca. 1 µs dauert, wurde aus Sicherheitsgründen eine Abtastzeit von
T = 20 µs
gewählt.
Die Abtastzeit ist aber auch durch Gegebenheiten von Regler und Aufbau begrenzt:
Bei kleiner Abtastzeit T wir der Regler schneller. Aber die Beträge der Impulse, aus denen
sich die Stellfunktion u(t) zusammensetzt werden exponentiell mit T größer. Dies läßt sich am
Beispiel des ersten Pulses leicht zeigen:
Aus (6.8) folgt durch Einsetzen von (6.4) und (6.5):
⎛ T ⎞ ⎛ T
⎟ ⎞
exp
⎜ −
⎟ exp
⎜ −
W ⎝ τ1
⎠ ⎝ τ
0
2
U
⎠
0
=
(6.16)
r0
⎡ ⎛ T ⎞⎤⎡
⎛ T ⎞⎤
⎢1
− exp
⎜ −
⎟⎥⎢1
− exp
⎜ −
⎟⎥
⎣ ⎝ τ1
⎠⎦⎣
⎝ τ
2 ⎠⎦
Für T → 0 wird daher U 0 einen unendlich großen Betrag annehmen.
Ein weiteres Problem verbietet zu kleine Abtastzeiten bei der vorliegenden FC-Maschine: Bei
zu kleiner Abtastzeit ist U 1 betragsmäßig größer als U 0 . Dadurch wird u(T) < 0 nach dem
zweiten Sprung. Dies bedeutet für den Hellregler, daß die LED negatives Licht ausstrahlen
müßte.
Aus (6.7) folgt durch Einsetzen von (6.4) und (6.5):
⎛ T ⎞ ⎛ T
⎟ ⎞
exp
⎜ −
⎟ + exp
⎜ −
W ⎝ τ1
⎠ ⎝ τ
0
2
U
⎠
1
= −
(6.17)
r0
⎡ ⎛ T ⎞⎤⎡
⎛ T ⎞⎤
⎢1
− exp
⎜ −
⎟⎥⎢1
− exp
⎜ −
⎟⎥
⎣ ⎝ τ1
⎠⎦⎣
⎝ τ
2 ⎠⎦
Die Abtastzeit T muß also so groß sein, daß das Produkt der exp-Funktionen in Gleichung
6.16 größer als die Summe dieser in Gleichung 6.17 ist.