Kapitel 6 Entwurf des Reglers auf endliche Einstellzeit - Christian ...

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Der Regler berücksichtigt zur Berechnung der Stellfunktion u(t) die aktuelle
Regelabweichung x d (t) und die beiden davor x d (t - T), x d (t – 2T) und die Stellfunktionen die
zwei und drei Abtastzeiten zurückliegen u(t – 2T) und u(t – 3T). Wenn man sich in Gleichung
6.5, 6.6, 6.7, 6.8 die Formeln für U 0 , U 1 , U 2 ansieht, so erkennt man, daß sich der Sollwert W 0
herauskürzt. Dies ist eine Eigenschaft linearer Systeme, bei denen die Variablen nicht in den
Koeffizienten vorkommen dürfen. Der Sollwert W 0 ist damit natürlich nicht wirkungslos,
denn er kommt über die Regelabweichungen x dx vor, da diese auf ihn bezogen sind.
Um mit dieser Formel für die Stellfunktion u(t) regeln zu können, müssen die Parameter der
Sprungantwort des Systems τ 1 , τ 2 , r 0 , r 1 und r 2 ermittelt werden, was in Abschnitt 6.7
beschrieben wird.
6.6 Stabilität bei Reglern endlicher Einstellzeit
Bei der Entwicklung von konventionellen Reglern garantiert man Stabilität, indem die
Phasendrehung unter 180° bleibt, solange die Ringverstärkung größer eins ist. Als
theoretischeres Kriterium kann man auch sagen: Für alle Polstellen s x (Nullstellen des
Nenners der Übertragungsfunktion) muß gelten:
Re(s x ) < 0
Sie müssen also in der linken Halbebene der komplexen s-Ebene liegen.
Da man die s-Ebene mittels bilinearer Transformation auf die z-Ebene abbilden kann und
dabei die linke Halbebene der s-Ebene innerhalb eines Einheitskreises um z = 0 in der z-
Ebene abgebildet wird, folgt für das Stabilitätskriterium im z-Bereich:
Liegen alle Polstellen (Nullstellen des Nenners der Übertragungsfunktion) innerhalb des
Einheitskreises der z-Ebene so ist das Abtastsystem stabil.
Auf endliche Einstellzeit entworfene Abtastregelungen sind immer stabil, da alle Pole des
geschlossenen Kreises in z = 0 liegen, was im folgende gezeigt wird (Föllinger, 1986):
Die z-Übertragungsfunktion der geschlossenen Abtastregelung ist
X(z)
G (z) = (6.12)
W(z)
Für W(z) gilt:
W(z)
∞
= W0
Ζ( σ(t))
= W0
∑
k=
0
z
−k
= W
0
W
=
− 1 1 − z
z
z
0
−1
Ist x(t) ≡ W 0 für t ≥ T t + nT = mT (n = Ordnung), so ist
x m = x m+1 = ... = W 0 .