Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Analog zum Beweis von Lemma 3 in [EBKLL01] folgt:
(6)
u P (p, q) =
≤
|π(p, q)|
|pq|
max
0≤i≤n−1
(3),(5)
<
|π(p i , p i+1 )|
|p i p i+1 |
∑ n−1
i=0 |π(p i, p i+1 )|
∑ n−1
i=0 |p ip i+1 |
= max
0≤i≤n−1 u P (p i , p i+1 )
Um die letzte Ungleichung einzusehen, muss man nur erkennen, dass für positive Zahlen,
falls a i /b i ≤ q für alle i gilt, auch ∑ i a i/ ∑ i b i ≤ q ist. Dies wiederum ist leicht zu sehen,
wenn man die beteiligten Ungleichungen jeweils mit dem auftretenden Nenner multipliziert.
a)
b)
p
p j
q
p
p j
q
P
P
c)
d)
p
p j
q
p
p j
q
P
P
Abbildung 5: Fallunterscheidung
Im Falle der strikten Ungleichung (5) ist mit (6) schon der wichtigste Teil von Aussage
2. bewiesen. Es bleibt für diesen Fall nur noch zu zeigen, dass Punktpaare (p l , p l+1 ), die das
Maximum auf der rechten Seite von Gleichung (6) annehmen, für die also u P (p l , p l+1 ) =
max 0≤i≤n−1 u P (p i , p i+1 ) gilt, in P C gegenseitig sichtbar sind. Diese leichte Aussage zeigen
wir am Ende des Beweises.
Zunächst wenden wir uns dem noch nicht behandelten Fall zu, in dem die strikte Ungleichung
(5) nicht gilt. Dann gilt in (4) die Gleichheit. Das ist wegen der Eindeutigkeit des
kürzesten Weges (siehe z.B. Proposition 1 in [Mit00]) nur möglich, wenn π(p, q) tatsächlich
der aus den Wegen π(p i , p i+1 ) zusammengesetzte Weg ist. Da außerdem n ≥ 2 ist, gibt es
einen echten Randschnittpunkt p j ∉ {p, q}, der von π(p, q) besucht wird.
Hier können die in Abbildung 5 gezeigten Fälle auftreten. Kreuzt π(p, q) in p j die Strecke
pq, dann muss ein angrenzender Teil von pq zu P gehören (vgl. Abb. 5a)). Verläuft π(p, q)
auf mindestens einem angrenzenden Teilstück direkt auf pq, dann gehört natürlich dieses
Teilstück selbst zu P (siehe 5b)). Berührt π(p, q) die Strecke pq in p j nur, aber kreuzt sie
nicht und bleibt auch nicht auf ihr, dann muss, da man sonst π(p, q) verkürzen könnte (siehe
5c)), auch wieder ein angrenzender Teil von pq zu P gehören (siehe 5d)).
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