Umwege in Polygonen - Universität Bonn

d
f
g
P
e
h
Abbildung 8: verschiedene Sanduhrarten in einem Polygon
Polygon, das durch eine einzelne Kante, die Oberseite, und zwei an sie ansetzende nach außen
konvexe Randketten, die sich im Fußpunkt (in engl. Literatur ”
Cusp“ 2 ) treffen, begrenzt wird.
In Abbildung 8 ist die geschlossene Sanduhr von f und g eingezeichnet. Abbildung 10 zeigt
eine geschlossene Sanduhr ohne das sie umgebende Polygon.
Schließlich treten auch entartete Trichter auf. Dann führen alle kürzesten Wege π(p ′ , q ′ )
über denselben Eckpunkt der betreffenden Polygonkante. Der beteiligte Trichter besteht nur
noch aus dieser Kante und die verbindende Kette setzt direkt am jeweiligen Kantenendpunkt
an (siehe Kante h in Abb. 8 und vgl. Abschnitt 5.4).
Nach diesen Definitionen sei kurz daran erinnert, dass wir im Beweis von Satz 5.1 ein echtes
Randpunktpaar (p, q) mit maximalem Umweg betrachten, das in P C gegenseitig sichtbar
ist. Es liege p auf der Kante d und q auf der Kante e.
Wegen der geometrischen Situation muss die Sanduhr von d und e geschlossen sein. Zum
p
d
q
p
d
P C
e
q
P
P C
e
P
P
s
s
Abbildung 9: in P C gegenseitig sichtbares, echtes Randpunktpaar (p, q)
2 Die englischen Standardbezeichnungen finden sich z.B. in [GHL + 87]
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