Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Beweis. Sei (p i , q i ) i∈N eine Maximalfolge in P × P , d.h. lim i→∞ u P (p i , q i ) = u max
P . Da
P × P kompakt ist, konvergiert eine Teilfolge (˜p i , ˜q i ) gegen ein Punktpaar (p, q). Ist nun
p ≠ q oder p = q keine spitze Ecke, dann ist u P (., .) in (p, q) stetig, und deshalb gilt
u P (p, q) = lim i→∞ u P (˜p i , ˜q i ) = u max
P . Ist hingegen p = q eine spitze Ecke, dann liegen wegen
der Teilfolgenkonvergenz fast alle Folgenglieder (˜p i , ˜q i ) in der in Lemma 4.1 konstruierten
Umgebung U. Daher gilt nach diesem Lemma u max
P = lim i→∞ u P (˜p i , ˜q i ) ≤ 1/ sin(γ/2).
Andererseits besagt das Lemma auch, dass es ein Punktpaar (p ∗ , q ∗ ) ∈ U ⊆ P × P gibt,
mit u P (p ∗ , q ∗ ) = 1/ sin(γ/2). Also folgt u P (p ∗ , q ∗ ) = u max
P . In beiden Fällen ist der Satz
bewiesen. □
p 1 p 2
π(p 1 , q 1 ) P π(p 2 , q 2 )
q 1
q 2
Abbildung 7: Polygon mit zwei Punktpaaren maximalen Umwegs
Neben der Existenzfrage ist auch die Frage nach der Eindeutigkeiteines Punktpaares mit
maximalem Umweg zu klären. Sie ist durch Angabe von Gegenbeispielen leicht zu beantworten.
Abb. 7 zeigt ein solches Gegenbeispiel.
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