Umwege in Polygonen - Universität Bonn

′
π(a ′ , c ′ )
˜s ′
ã ′ a ′
π(b ′ , d ′ )
g
p a ′′ h
π(a ′′ , d ′ )
˜d ′
d ′
Abbildung 26: Auch π(a ′′ , d ′ ) ist nach außen konvex.
ã ′ liegt, knickt die neue Randkette π(d ′ , a ′′ ) in ˜d ′ nicht nach links ab. Deshalb ist π(a ′ , d ′′ )
nach außen konvex.
Zusätzlich machen die vorgetragenen Betrachtungen zu π(b ′ , d ′ ) klar, dass sich dieser
Weg durch das Geradebiegen nicht verändert.
Damit ist gezeigt, dass man den Bereich von π(a ′ , c ′ ) am Punkt a ′ im betrachteten Fall
so gerade biegen kann, dass |π(a ′′ , d ′ )| nicht größer als |π(a ′ , d ′ )| wird und die restlichen
betrachteten Weglängen gleich bleiben. Außerdem sind auch im entstandenen Polygon die
vier Randketten nach außen konvex. Analog kann man dann mit den anderen Punkten b ′ ,
c ′ und d ′ verfahren. Und Lemma 6.3 ist bewiesen. □
Beim Beweis von (42) hatten wir das folgende Lemma benutzt, das in Abbildung 27
veranschaulicht wird.
a
v 1
p
b
K
q
Abbildung 27: zum Beweis von Lemma 6.4
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