Umwege in Polygonen - Universität Bonn

1 Einleitung
Diese Diplomarbeit behandelt Umwege in einfachen Polygonen. Der (relative) Umweg u P (p, q)
zwischen zwei Polygonpunkten p und q ist der Quotient aus der Länge der kürzesten Verbindung
durch das Polygon |π(p, q)| und der direkten Entfernung |pq| (siehe Abb. 1).
p
β
q
π(p, q)
P
Abbildung 1: Polygon mit maximalem Umweg
Untersucht werden Punktpaare, deren Umwege im zugehörigen Polygon maximal sind.
Gibt es immer solche Punktpaare? Wie viele kann es geben? Welche Eigenschaften haben
sie? Und wie kann man sie effizient ermitteln?
Derartige Fragestellungen sind seit kurzem Grundlage vieler Forschungsaktivitäten (siehe
[NS00], [EBKLL01], [LMS02] und [AKKS02]). Für Anwendungen ist der Fall allgemeiner
geometrischer Graphen besonders interessant. Der Graph kann z.B. zu optimierende Verkehrsnetze
wie Schienenverbindungen oder Straßennetze, aber auch Kommunikations- oder
Versorgungsnetzwerke repräsentieren. Der maximale Umweg ist dann ein Gütemaß für das
Netz, und Punktpaare maximalen Umwegs sind Kandidaten für das Einfügen neuer Verbindungen
zur Verbesserung des Netzes. Allerdings ist die Komplexität dieses allgemeinen
Falles sehr hoch, so dass die Betrachtung von einfacheren Spezialfällen erforderlich wird.
Einen bereits erforschten Spezialfall stellen polygonale Ketten (Streckenzüge) dar. So entwickeln
Langerman, Morin und Soss in [LMS02] einen nicht-deterministischen Algorithmus,
der in einer erwarteten Laufzeit von O(n log n) ein Punktpaar maximalen Umwegs findet. n
bezeichnet hier die Anzahl der Kettenkanten. Agarwal et al. liefern in [AKKS02] durch Anwendung
der ”
Parametric Search“-Methode von Megiddo [Meg83] für das gleiche Problem
einen deterministischen Algorithmus mit einer Laufzeit von O(n log 4 n). Ein deterministischer
Approximationsalgorithmus von Ebbers-Baumann et al. [EBKLL01], der Punktpaare
findet, deren Umweg mit vorgegebener Genauigkeit am Maximum liegt, läuft in O(n log n).
Die im folgenden betrachtete Situation in einfachen Polygonen kann im Hinblick auf ihre
algorithmische Komplexität in etwa als Zwischenstufe zwischen dem Kettenfall und dem Fall
allgemeiner Graphen angesehen werden.
Sie ist komplizierter als die Situation auf Ketten, weil die kürzesten Wege prinzipiell durch
das gesamte Innere des Polygons verlaufen können. Es ist nur klar, dass die kürzesten Wege
polygonale Ketten sind, die ausschließlich Polygoneckpunkte als innere Knoten besitzen (sie-
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