Umwege in Polygonen - Universität Bonn

5.2 Paralleler Fall mit eindeutigen a, b
Wenn die Kanten d und e parallel zueinander sind, gehen wir ähnlich vor, wie im nicht
parallelen Fall. Um wieder p ′ und q ′ über s ′ und t ′ parametrisieren zu können, verlängern
wir die Kanten ins Unendliche und wählen auf einer Seite der eigentlichen Kanten ein sich
direkt gegenüber liegendes Punktpaar (p 0 , q 0 ) als Bezugspunkt. Wir definieren also s := |pp 0 |
und t := |qq 0 |. Außerdem nennen wir den Abstand der beiden Geraden δ, also δ := |p 0 q 0 |.
δ
p 0
s
b ′
p
t
d
−α
a ′ a
q 0 b =
q
e
b ⊥
b
β
Abbildung 12: Randpunktpaar bei parallelen Kanten
Die restlichen Bezeichnungen (a, b, a = , b = , a ⊥ , b ⊥ , α, β) seien wie im nicht-parallelen
Fall. Siehe dazu auch Abb. 12.
Liegt nun in (p, q) ein lokales Maximum, dann ist dort insbesondere ein lokales Maximum
im Vergleich zu Punktpaaren (p ′ , q ′ ), bei denen die Differenz ∆ := t ′ − s ′ gleich ist. Definiere
also:
(32)
f(s ′ ) := u P (p ′ (s ′ ), q ′ (s ′ + ∆))
∣
∣p ′ (s ′ ∣
)a∣ + |π(a, b)| + ∣bq ′ (s ′ + ∆) ∣
=
∣
∣p ′ (s ′ )q ′ (s ′ + ∆) ∣
=
√
(s′ − a = ) 2 + a 2 ⊥ + |π(a, b)| + √ (s ′ + ∆ − b = ) 2 + b 2 ⊥
√
∆2 + δ 2
Wieder berechnen wir die erste Ableitung:
(33)
df
ds ′ =
Die zweite Ableitung ist dann:
√
s ′ −a =
(s ′ −a =) 2 +a 2 ⊥
+
√
∆2 + δ 2
√
s ′ +∆−b =
(s ′ +∆−b =) 2 +b 2 ⊥
(34)
d 2 f
ds ′2 =
1
√
∆2 + δ 2 ·
+
( √ (s ′ − a = ) 2 + a 2 ⊥ − (s′ − a = )
(s ′ − a = ) 2 + a 2 ⊥
√
(s′ + ∆ − b = ) 2 + b 2 ⊥ − (s′ + ∆ − b = )
(s ′ + ∆ − b = ) 2 + b 2 ⊥
√
s ′ −a =
(s ′ −a =) 2 +a 2 ⊥
√
s ′ +∆−b =
(s ′ +∆−b =) 2 +b 2 ⊥
)
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