Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Fall wird sich aber als relativ harmlos herausstellen, so dass sich der Zusatzaufwand in
Grenzen hält.
Als erstes seien die Kanten d und e nicht parallel.
5.1 Nicht-paralleler Fall mit eindeutigen a, b
Die Situation sieht dann so aus wie in Abb. 11. Wir benennen den Abstand von p zum
a
α
p
d
s
a ⊥
γ
a ′
c
−a =
t
b ′
β
q
e
b
Abbildung 11: Randpunktpaar mit ersten Stücken des kürzesten Weges
Schnittpunkt c mit s, also s := |pc| und denjenigen von q zu c mit t, also t := |qc|. Sei
weiterhin wie in Abb. 11 zu sehen a ′ (bzw. b ′ ) die senkrechte Projektion von a (bzw. b) auf
die Verlängerung von d (bzw. e).
Dann zerlegen wir a und b noch in eine Komponente, die senkrecht zu der entsprechenden
Kante liegt und eine parallele Komponente. Genauer definieren wir a ⊥ := ∣ ∣aa ′∣ ∣, b ⊥ := ∣ ∣bb ′∣ ∣,
|a = | := ∣ ∣ a′ c ∣ ∣ und |b= | := ∣ ∣ b′ c ∣ ∣ , wobei das Vorzeichen von a= (bzw. b = ) genau dann positiv
sei, wenn a ′ (bzw. b ′ ) auf der gleichen Seite von c liegt wie p (bzw. q).
Schließlich brauchen wir zur Vereinfachung der Formeln noch Namen für die Winkel in a
und b und definieren α und β durch die Gleichungen sin α = (s − a = )/ |ap|, cos α = a ⊥ / |ap|,
sin β = (t − b = )/ ∣ ∣ bq
∣ ∣, und cos β = b⊥ / ∣ ∣ bq
∣ ∣. Dabei wird, falls der Trichter von d entartet ist,
falls also a ein Eckpunkt von d ist, α zu π/2 oder −π/2. Analoges gilt für den Punkt b.
All diese Definitionen bringen den Vorteil, dass wir nun alle Randpunktpaare (p ′ , q ′ ) ∈
d×e über s ′ und t ′ parametrisiert betrachten können. Weil nach unseren Überlegungen (p, q)
ein in P C gegenseitig sichtbares echtes Randpunktpaar ist, gilt s, t ≠ 0, also s, t > 0. Weil
(p, q) ein echtes Randpunktpaar ist, also weder p noch q Eckpunkte sind, gilt auch, selbst
wenn a oder b auf der zugehörigen Kante d bzw. e liegen, dass |ap| > 0 und ∣ ∣qb ∣ ∣ > 0 sind.
Der Umweg u P (p ′ , q ′ ) wird jedenfalls eine Funktion in den zwei Variablen s ′ und t ′ . Wir
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