Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Es folgt eine kurze Gleichung für |π(p, q)|.
(14)
s sin α + t sin β (12),(13)
= s |π(p, q)| s − t cos γ
|pq| 2 + t |π(p, q)| t − s cos γ
|pq| 2
= |π(p, q)|
= |π(p, q)|
s(s − t cos γ) + t(t − s cos γ)
s 2 + t 2 − 2st cos γ
Und Gleichungen für sin α, sin β:
(15)
sin α (t − s cos γ)
(12),(13)
= sin β (s − t cos γ)
t (sin α + sin β cos γ) = s (sin β + sin α cos γ)
Wenn f in ∆ = 0 ein lokales Maximum hat, dann darf df/d∆ in 0 kein -/+ - Vorzeichenwechsel
haben. Das Vorzeichen von df/d∆ ist aber identisch mit dem von (df/d∆) · ∣∣p ′ q ′∣ ∣ 3 .
Also muss gelten:
(16)
( )∣
d df
∣ p′ q
d∆ d∆
′∣ ∣ 3 ∣∣∣∆=0 !
≤ 0
Nun berechnet sich diese Ableitung wie folgt (Ausgangspunkt siehe Gleichung (10)):
(17)
( )
d df
∣ p′ q
d∆ d∆
′∣ ∣ 3 =
( m
2 √ (s + m∆ − a = ) 2 + a 2 ⊥ − m(s + m∆ − a =)
m(s+m∆−a
√ =)
(s+m∆−a=) 2 +a 2 ⊥
(s + m∆ − a = ) 2 + a 2 ⊥
n(t+n∆−b
√ =)
(t+n∆−b=) 2 +b 2 ⊥
n 2√ (t + n∆ − b = ) 2 + b 2 ⊥ − n(t + n∆ − b =)
+
(t + n∆ − b = ) 2 + b 2 ⊥
· ((s
+ m∆) 2 + (t + n∆) 2 − 2(s + m∆)(t + n∆) cos γ )
(
)
m(s + m∆ − a = ) n(t + n∆ − b
+ √ = )
+ √
(s + m∆ − a= ) 2 + a 2 ⊥ (t + n∆ − b= ) 2 + b 2 ⊥
·2 (m(s + m∆) + n(t + n∆) − m(t + n∆) cos γ − n(s + m∆) cos γ)
(
)
m(s + m∆ − a = ) n(t + n∆ − b = )
− √ + √
(s + m∆ − a= ) 2 + a 2 ⊥ (t + n∆ − b= ) 2 + b 2 ⊥
· (m(s + m∆) + n(t + n∆) − m(t + n∆) cos γ − n(s + m∆) cos γ)
√
)
−
(√(s + m∆ − a = ) 2 + a 2 ⊥ + |π(a, b)| + (t + n∆ − b = ) 2 + b 2 ⊥
· (m 2 + n 2 − 2mn cos γ )
)
Wieder werten wir an der Stelle ∆ = 0 aus und benutzen dieselben Gleichungen wie beim
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