Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Wie in [EBKLL01] ergibt sich dann eine lineare obere Schranke für die Anzahl von
Punktpaaren maximalen Umwegs.
Korollar 6.1 In einem einfachen, nicht-konvexen Polygon P mit n Ecken gibt es höchstens
O(n) viele Punktpaare mit maximalem Umweg.
Beweis. Wir bilden einen geometrischen Graphen G (siehe Abb. 29), in dem wir zunächst
die Eckpunkte von P als Knoten deuten und die Randkanten als Kanten des Graphen nehmen.
Zusätzlich fügen wir für jedes Punktpaar (p, q) maximalen Umwegs die Punkte p und
q als Knoten und die Kante pq hinzu. Wegen Lemma 3.1 sind die Punkte p und q Randpunkte
des Polygons. Also bleibt der gebildete Graph zusammenhängend. Wegen Satz 6.1,
und weil die Maximumpaare nach Lemma 3.1 in P C gegenseitig sichtbar sind, also keine
Polygonrandkante kreuzen, ist er außerdem kreuzungsfrei.
P
=⇒
G
Abbildung 29: Konstruktion des kreuzungsfreien Graphen G
Nun kann man noch je alle Kantenendpunkte in diesem Graphen, die auf der gleichen
Randkante des Polygons aber nicht auf einem Eckpunkt liegen, so zusammenschieben, dass
schließlich die beteiligten Kanten in einem gemeinsamen Punkt enden, der z.B. in der Mitte
der betrachteten Randkante liegt. Die beteiligten Kanten kann man dabei so verbiegen, dass
der Graph weiterhin kreuzungsfrei bleibt.
r
e 1
e 2
r ′
B ε (r ′ )
e 3
⇒
r
e 1
e 2 e 3
m
B ε (r ′ )
Abbildung 30: Verbiegen aller auf r endenden Kanten zum Mittelpunkt m
Ein mögliches Vorgehen ist in Abbildung 30 dargestellt. Zuerst wählt man ein ε > 0 so
klein, dass in dem ε-Schlauch B ε (r ′ ) um den betroffenen Teil r ′ der Polygonrandkante r keine
weitere Kante des Graphen bis auf die beteiligten Kanten e 1 , . . . , e k , die einen Endpunkt auf
r haben, auftauchen. Anschließend verbiegt man die Kanten e 1 , . . . , e k in B ε (r ′ ) so, dass
sie alle auf dem Randkantenmittelpunkt m enden und sich weiterhin untereinander nicht
schneiden. Da die Änderungen am Graphen nur im Schlauch B ε (r ′ ) erfolgen, bleibt der
Graph kreuzungsfrei.
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