Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Und da sonst π(p, q ′ ) ⊕ q ′ q ein kürzerer Weg wäre als π(p, q) gilt:
(66) |π(p, q)| ≤ |π(p, q ′ )| + ∣ ∣ q′ q ∣ ∣
Insgesamt ergibt sich:
(67)
u P (p, q ′ ) =
(66)
≥
(65)
=
(62), (63),(64)
≥
(59)
≥
u max
P
≥
≥1
|π(p, q ′ )|
∣
∣pq ′∣ ∣
|π(p, q)| − ∣ ∣ q′ q ∣ ∣
∣ pq
′ ∣ ∣
sin(β q + ν)
sin β q
|π(p, q)|
|pq|
(1 − η 2 )u P (p, q) − sin ρ
sin β
(1 − η 2 )umax P − η 2
(1 − η)u max
P
− sin ν
sin β q
Ist nun q ′ ein Eckpunkt, so gilt für das Eckpunktpaar (p 2 , q 2 ) aus Schritt 3 von Algorithmus
5:
L. 8.2 1 max
u P (p 2 , q 2 ) ≥ uEP ≥ 1
1 + η 1 + η u P (p, q ′ ) (67)
≥ 1 − η (57)
1 + η umax P ≥ 1
1 + ε umax P
Und die Ausgabe des Algorithmus ist korrekt.
Ist hingegen q ′ ein Punkt, der von p aus in Richtung mρ liegt, dann müssen wir wieder
zwei Fälle unterscheiden. Sind p, q ′ gegenseitig sichtbar oder gegenseitig sichtbar in P C ,
dann wird das Paar in Schritt 1 unseres Approximationsalgorithmus untersucht, und es gilt
für das in Schritt 2 gefundene Punktpaar (p 1 , q 1 ):
u P (p 1 , q 1 ) ≥ u P (p, q ′ ) (67)
≥ (1 − η)u max
P ≥ 1 − η (57)
(1 + η) 2 umax P ≥ 1
1 + ε umax P
Auch dann ist also die Ausgabe des Algorithmus korrekt.
e
q
p
ν
p ′
q ∗
q ′
Abbildung 41: ein weiterer Eckpunkt p ′ im Dreieck pqq ′
Leider kann auch der Fall eintreten, dass, obwohl p, q ja in P C gegenseitig sichtbar
sind, sich p und q ′ nicht in P C sehen können. Die folgende, im Vergleich zu [EBKLL01]
kompliziertere Argumentation und die strikteren Bedingungen an η und ρ sind notwendig,
weil wir im Algorithmus 5 bei Schritt 1 nicht auf der Kante maximieren.
Ist (p, q ′ ) nicht in P C gegenseitig sichtbar, dann gibt es einen weiteren Polygon-Eckpunkt
p ′ im Dreieck pqq ′ . Und man kann p ′ durch iterierte Anwendung dieser Argumentation
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