Umwege in Polygonen - UniversitÃ¤t Bonn

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5.4 π(p ′ , q ′ ) läuft über beide Kanten Nach dem bisher gezeigten, finden wir entweder ein Eckpunkt-Randpunkt-Paar mit maxi- a p β p d π(p, q) b q β q e Abbildung 14: π(p, q) läuft über beide Kanten malem Umweg, oder aber ein maximales echtes Randpunktpaar (p, q) von dem aus π(p, q) über beide Kanten d und e läuft. Letzteres is offensichtlich nur dann möglich, wenn π(p, q) von p und von q aus an Kantenendpunkten (a von d bzw. b von e) hängt, was wiederum nur möglich ist (siehe Def. eines Trichters auf S. 5), wenn die beiden Trichter entartet sind. In einem solchen Fall hängen für alle Punktpaare (p ′ , q ′ ) ∈ d × e die kürzesten Wege π(p ′ , q ′ ) an den gleichen Kantenendpunkten a bzw. b. Dann ist aber die Situation genau wie bei polygonalen Ketten. Denn, wenn man die Situation auf der polygonalen Kette C := d ⊕ π(a, b) ⊕ e betrachtet, ergibt sich für alle Punktpaare (p ′ , q ′ ) ∈ d × e derselbe kürzeste Weg π(p ′ , q ′ ). Und somit entsprechen sich auch alle Umwegüberlegungen. Wir können direkt die Lemmata 1 und 2 aus [EBKLL01] benutzen und erhalten insgesamt: Lemma 5.2 Führt für einen echten Randpunkt p der kürzeste Weg π(p, q) über die Kante d, auf der p liegt, so gilt dies auch für alle anderen Randpunkte p ′ ∈ d und die zugehörigen kürzesten Wege π(p ′ , q). u P (p, q) ist genau dann maximal verglichen mit den anderen u P (p ′ , q), wenn cos β p = − |pq| / |π(p, q)| ist. Ist zusätzlich (p, q) ein echtes Randpunktpaar und führt π(p, q) auch über die Kante e von q, dann ist u P (p, q) genau dann maximal gegenüber u P (p ′ , q ′ ) für alle anderen (p ′ , q ′ ) ∈ d × e, wenn cos β q = cos β p = − |pq| / |π(p, q)| ist. In letzterem Fall kann ein Eckpunkt-Randpunkt- Paar gewählt werden. Die eigentliche Aussage des Lemmas wird in [EBKLL01] bewiesen. Mit seiner Anwendung erhalten wir nun in jedem Fall ein Eckpunkt-Randpunkt-Paar mit maximalem Umweg. Damit ist endlich der Beweis des Satzes 5.1 von S. 16 abgeschlossen. □ 5.5 Existenz eines in P C gegenseitig sichtbaren Eckpunkt-Randpunkt-Paares mit maximalem Umweg Satz 5.1 sichert die Existenz eines Eckpunkt-Randpunkt-Paares mit maximalem Umweg. Nach Lemma 3.1 können wir aber immer ein in P C gegenseitig sichtbares Randpunktpaar 26
mit mindestens gleich großem Umweg finden. Dies legt die Vermutung nahe, dass auch ein in P C gegenseitig sichtbares Eckpunkt-Randpunkt-Paar mit maximalem Umweg existiert. Tatsächlich ist folgende Aussage eine leichte Folgerung: Korollar 5.1 In jedem nicht konvexen Polygon gibt es ein in P C gegenseitig sichtbares Eckpunkt-Randpunkt-Paar mit maximalem Umweg. Beweis. Nach Satz 5.1 gibt es ein Eckpunkt-Randpunkt-Paar mit maximalem Umweg. Da P nicht konvex ist, ist (p, q) nicht gegenseitig sichtbar. Wäre nun (p, q) auch in P C nicht gegenseitig sichtbar, dann gäbe es nach Lemma 3.1 ein Randpunktpaar (p ′ , q ′ ) mit echt größerem Umweg, was wegen der Maximalität von u P (p, q) nicht möglich ist. Also ist (p, q) in P C gegenseitig sichtbar und das Korollar ist bewiesen. □ 27
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