Umwege in Polygonen - Universität Bonn

(90)
( ) 2i
p 2i :=
2n , ŷ + i für i ∈ {0, . . . , n}
( ) 2i − 1
p 2i−1 :=
2n
, y i für i ∈ {1, . . . , n}
( )
2i
p 4n−2i+1 :=
2n , ŷ + i + ∆ für i ∈ {0, . . . , n}
( )
2i − 1
p 4n−2i+2 :=
2n
, y i + ∆ für i ∈ {1, . . . , n}
Nehmen wir zunächst an, dass ŷ − (y + ∆) ≥ √ 1 + (n + ∆) 2 gilt. Diese Annahme folgt,
wenn man den trivialen Fall y = y ausschließt, wieder direkt aus unserer späteren Wahl von
y in (96). Dann wird das Eckpunktumwegmaximum wieder entweder zwischen zwei oberen
Punkten (d.h. p 2i oder p 4n−2i+1 für i ∈ {0, . . . , n}) oder zwischen zwei unteren Punkten
(d.h. p 2i−1 oder p 4n−2i+2 für i ∈ {1, . . . , n}) angenommen.
Denn wenn a ein oberer Punkt ist und b ein unterer Punkt, dann kann man von b aus auf
einer an b angrenzenden Polygonkante in die a entgegengesetzte Richtung wandern. Sei ˆb der
nächste so erreichte obere Punkt, dann ist wegen der von uns angenommenen Ungleichung
einerseits ∣ ∣ √ ab ∣
≥ 1 + (n + ∆)2 ≥ ∣aˆb ∣ und andererseits ist offensichtlich π(a, b) < π(a, ˆb).
Also ist insgesamt u P (a, b) < u P (a, ˆb).
Außerdem wird u E P
max offensichtlich nicht von zueinander gehörigen Punkten angenommen,
d.h. von Punktpaaren (p 2i , p 4n−2i+1 ) oder (p 2i−1 , p 4n−2i+2 ), da diese gegenseitig sichtbar
sind.
Ist nun (a, b) ein oberes nicht zueinander gehöriges Punktpaar oder ein unteres nicht zueinander
gehöriges Punktpaar mit ungleichen zugehörigen ganzen Zahlen. Dann gilt (analog
zu den Beweisen der Lemmata 9.1 bis 9.3):
(91) u P (a, b) < 2m(ŷ + n + ∆ − y + 1 n
√ ) ≤ 2n(ŷ + n + ∆ − y + 1 n
√ ) =: C
(
m
n )2 + (1 − ∆) 2 1 + (1 − ∆)
2
Dabei ist m wieder der Indexabstand der Punkte. Die rechte Ungleichung ist damit zu
x
beweisen, dass für 0 ≤ x ≤ 1 und kleine ∆ die Ungleichung √ ≤ 1
x 2 +(1−∆) 2
√
1+(1−∆) 2
gilt, was elementare Umformungen zeigen. Damit ist auch schon eine Aussage über das
Eckpunktumwegmaximum bewiesen:
(92) (∀j ≠ k : y j ≠ y k ) ⇒ u E max
P
< C
Gibt es andererseits ein gleiches Zahlenpaar y j = y k für j ≠ k, dann gilt:
(93) u E max
P
≥ u P (p 2j−1 , p 2k−1 ) ≥
2m(ŷ − (y + ∆))
m 1 n
= 2n (ŷ − y − ∆) =: C
Können wir nun C ≥ C garantieren, dann folgt mit (92) und (93) insgesamt:
(94) u E max
P
< C ⇔ (∀j ≠ k : y j ≠ y k ) ⇔ u E max
P
< C
x mit
Können wir sogar C ≥ (1 + ε)(1 + δ)C erreichen, dann gilt für den Approximationswert
uE
max
P
1+ε
≤ x ≤ (1 + δ)u E max
P
(analog zur Herleitung des Entscheidungskriteriums auf
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