Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Die Korrektheit des Algorithmus ist schon gezeigt. Nach Gutwin und Keil [KG92] hat Schritt
1 eine Laufzeit von O(n log n). Wegen der Spärlichkeit des Spanners hat er nur O(n) viele
Kanten. Wie im Beweis von Lemma 8.1 müssen wir wieder im Vergleich zum Streckenzugfall
eine zusätzliche Überlegung für die Laufzeit aufwenden. Wir benutzen wieder das Resultat
von Guibas und Hershberger [GH87], nach dem man nach Vorbereitungszeit O(n) in O(log n)
für ein Punktpaar (p, q) den Umweg u P (p, q) berechnen kann. Deshalb brauchen Schritt 2
und 3 Zeit O(n log n). Also liegt auch die Gesamtlaufzeit des Algorithmus in O(n log n). □
Damit kommen wir zum eigentlichen Approximationsalgorithmus.
Satz 8.1 Sei ε > 0 eine gegebene reelle Zahl, und sei P ein einfaches Polygon mit n Ecken.
Mit einer Laufzeit von O(n log n) kann man dann ein Eckpunkt-Randpunkt-Paar (p, q) bestimmen,
das den maximalen Umweg approximiert, d.h. es gilt:
u P (p, q) ≥ 1
1 + ε umax P
Beweis. Am Anfang müssen wir einige Zahlenwerte wählen, die im weiteren Verlauf des
Beweises benötigt werden. Zuerst bestimmen wir ein kleines η das erfüllt:
(57) 0 < η < ε und 1 − η
(1 + η) 2 ≥ 1
1 + ε
Dann wählen wir einen kleinen Winkel β mit:
(58) 0 < β < π 2
und für alle β ∈ (0, β]: cos β ≥
1
1 + ε
Schließlich benötigen wir noch einen kleinen Winkel ρ, so dass:
(59) 0 < ρ < π 2
und
sin ρ
sin β ≤ η 2 und cos ρ ≥ max(1 − η 2 , 1
1 + η )
Der aufmerksame Leser wird beim Vergleich mit [EBKLL01] feststellen, dass die Bedingungen
an ρ und η stärker sind. Wir werden diesen Unterschied später genauer begründen.
Zunächst starten wir mit den gewählten Werten folgenden Algorithmus:
Algorithmus 5
Input: ein einfaches Polygon P mit n Ecken und eine reelle Zahl ε > 0
Output: ein Eckpunkt-Randpunkt-Paar (p, q) mit (1 + ε)u P (p, q) ≥ u max
P
1. Für jede ganze Zahl m zwischen 0 und 2π/ρ finde ein in P oder P C gegenseitig
sichtbares Eckpunkt-Randpunkt-Paar in Richtung mρ mit maximalem
Umweg unter solchen Paaren.
2. Wähle unter den gefundenen Paaren ein maximales. Wir nennen es (p 1 , q 1 ).
3. Finde mit Algorithmus 4 ein Eckpunktpaar (p 2 , q 2 ) mit
(1 + η)u P (p 2 , q 2 ) ≥ u E max
P .
4. Gebe das Punktpaar (p 1 , q 1 ) oder (p 2 , q 2 ) mit maximalem Umweg aus.
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