Umwege in Polygonen - Universität Bonn

a ′
a ′
c ′ 1)
2)
ã ′ p
ã ′
p
g c ′ g
b ′
b ′
π(a ′ , c ′ ) h
d ′ π(a ′ , c ′ ) h
d ′
3)
a ′
b ′
ã ′
h
c ′ π(a ′ , c ′ )
g
p
d ′
Abbildung 24: möglicher Bereich für d ′ und ˜d ′
Das weitere Vorgehen verdeutlicht Abbildung 24. Verlängere die erste Kante von π(a ′ , c ′ )
zu einer Geraden g. Und verlängere die erste Kante von π(a ′ , c ′ ) hinter ã ′ zu einer Geraden
h. Ist g = h, dann ist im Punkt a ′ nichts gerade zu biegen. Anderenfalls können g und h
nicht parallel sein, da der Weg π(a ′ , c ′ ) in jedem Fall bis zur ersten Kante hinter a ′ in eine
Richtung hin konvex ist. Also schneiden sich g und h in einem Punkt. Wir nennen ihn p.
Die Geraden g und h teilen die Ebene in vier Teile. Der Punkt d ′ muss nun in dem Teil
liegen, der π(a ′ , ã ′ ) gegenüber liegt. Auf welcher Seite von g der Punkt d ′ liegt, ist deshalb
festgelegt, weil sonst a ′ und d ′ nicht mehr durch eine nach außen konvexe Kette verbunden
sein könnten. Auf welcher Seite von h der Punkt d ′ liegt, ist genauso festgelegt, weil sonst
c ′ und d ′ nicht mehr durch eine nach außen konvexe Kette verbunden sein könnten (siehe
dazu die drei Fälle in Abb. 24).
Betrachte nun den Weg π(d ′ , b ′ ). Er kann von d ′ aus ein Teilstück lang auf π(d ′ , a ′ )
verlaufen. Sei ˜d ′ der Punkt, an dem sich π(d ′ , b ′ ) und π(d ′ , a ′ ) trennen. Es ist gut möglich,
dass ˜d ′ = d ′ ist. Anderenfalls müssen wir aber beim Geradebiegen von π(a ′ , ã ′ ) darauf achten,
dass π(d ′ , ˜d ′ ) nicht verändert wird. Denn der Weg π(b ′ , d ′ ) soll bei dem lokalen Geradebiegen
von π(a ′ , ã ′ ) unangetastet bleiben.
Weil ˜d ′ auf der nach außen konvexen Kette π(a ′ , d ′ ) liegt, muss der Punkt auf der gleichen
Seite der Geraden g liegen wie d ′ . Da ansonsten π(b ′ , d ′ ) verkürzbar wäre, liegt ˜d ′ auch auf
der gleichen Seite der Geraden h wie d ′ . D.h. auch ˜d ′ liegt in dem grau eingefärbten Bereich
von Abb. 24.
Das Geradebiegen am Punkt a ′ erfolgt nun, indem man den Punkt a ′ durch einen Punkt
a ′′ auf der Geraden h ersetzt, der auf der c ′ gegenüberliegenden Seite von g liegt, und dessen
Abstand zu ã ′ die Gleichung ∣ ∣ a
′′ã ′∣ ∣ = |π(a ′ , ã ′ )| erfüllt. Die Kette π(a ′ , d ′ ) wird bei diesem
Übergang durch die Kette π(a ′′ , d ′ ) := a ′′ ˜d ′ ⊕ π( ˜d ′ , d ′ ) ersetzt.
Beim Übergang von a ′ zu a ′′ ändert sich von den betrachteten 6 Weglängen nur |π(a ′ , d ′ )|.
Dass sich |π(b ′ , d ′ )| nicht ändert wird später noch kurz begründet. Bei den anderen Weglängen
ist es offensichtlich, weil diese Seiten des dualen Vierecks unverändert bleiben.
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