Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Es bleibt der Einfluss der inneren Schleife in Schritt 2c zu prüfen. Nach Lemma 7.4 und
Lemma 7.2 benötigen die beiden inneren Schritte jeweils eine Laufzeit von O(k), wobei k
die Anzahl der beteiligten Trichterrandkanten ist.
Da nun jede Trichterrandkante Teil eines kürzesten Weges zu p ist, ist sie auch eine
Kante des Shortest Path Tree. Innerhalb der Schleife in 2c werden also zu jedem Eckpunkt
p höchstens n − 1 Kanten betrachtet. Weil wir weiterhin zeigen werden, dass jede Kante des
Shortest Path Tree zu höchstens zwei Trichtern gehören kann, wird jede dieser n − 1 Kanten
zu einem Punkt p innerhalb der inneren Schleife also höchstens zweimal betrachtet. Damit
ist gezeigt, dass Schritt 2c pro Eckpunkt nur zu einer Laufzeit von O(n) führt. Insgesamt
verursacht der Schritt für den Algorithmus also höchstens eine Laufzeit von O(n 2 ).
Es bleibt nur noch zu zeigen, dass jede Kante d des Shortest Path Tree zu höchstens
zwei Trichtern gehören kann. Dazu stellen wir fest, dass jeweils die inneren Gebiete von
zwei verschiedenen Trichtern Φ(e) und Φ(f) zu einem Eckpunkt p disjunkt sind. Dies ist
anschaulich klar (siehe Abb. 36) und Guibas et al. beweisen es in Lemma 2.1.(b) in [GHL + 87].
Außerdem berührt, da sich die Kanten des Shortest Path Tree (als kürzeste Wege) nicht
schneiden, jeder Trichter nur die Kanten des Shortest Path Tree, die zu seinen Randketten
gehören.
Falls die betrachtete Kante d des Shortest Path Tree also zu keinem entarteten Trichter
gehört (siehe Randkante h in Abb. 8 auf S.17), dann kann sie zu höchstens zwei Trichtern
gehören. Denn d kann zu jeder Seite nur einen nicht-entarteten Trichter begrenzen. Ansonsten
würden sich deren Flächen überschneiden.
Gehört d andererseits zu einem entarteten Trichter, dann ist d selbst die Oberseite dieses
Trichters. Zu einer Seite von d liegt also P C . d kann folglich nur noch zur anderen Seite hin
einen Trichter begrenzen. Dort kann sich tatsächlich höchstens ein Trichter anschließen, weil
sich sonst wieder die Flächen der Trichter überschneiden würden. Ein weiterer entarteter
Trichter kommt auch nicht in Frage. Denn ein entarteter Trichter besteht nur aus einer
Kante, der zugehörigen Polygonrandkante (=Trichteroberseite). d kann also nur Teil eines,
nämlich des eigenen, entarteten Trichters sein.
Lässt man übrigens in die Argumentation noch das Resultat aus Lemma 2.1.(b) in
[GHL + 87] einfließen, dass die Trichter Φ(.) zu einem Eckpunkt p das gesamte Polygon überdecken,
dann wird klar, dass jede Kante d des Shortest Path Tree zu genau zwei Trichtern
gehört.
Also benötigt Schritt 2c pro Aufruf lineare Zeit, da jede Kante des Shortest Path Tree
genau zweimal betrachtet wird, und dieser Baum n − 1 Kanten hat. Für den gesamten
Algorithmus 3 resultiert damit eine Laufzeit von O(n 2 ). □
58