Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 5
2 Definitionen 8
3 Rückführung auf Randpunkte 9
4 Existenz eines Umwegmaximums 13
5 Maximum auf Eckpunkt-Randpunkt-Paar 16
5.1 Nicht-paralleler Fall mit eindeutigen a, b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Paralleler Fall mit eindeutigen a, b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3 Sprung von π(p ′ , q ′ ) zwischen Ecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4 π(p ′ , q ′ ) läuft über beide Kanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.5 Maximumpaar in P C gegenseitig sichtbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Maximale Anzahl von Umwegmaxima 28
6.1 Beschreibung der Ausgangssituation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.2 Keine Berührung gegenüberliegender Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.3 Der Stifte-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.4 Geradebiegen des dualen Vierecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.5 Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7 Ein exakter Algorithmus 44
7.1 Notwendiges Kriterium für ein einseitiges Maximum . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Spezialfall des notwendigen Kriteriums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3 Maximumsuche in einem Trichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.4 Optimalität der Suche im Trichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.5 Bereitstellung der Trichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.6 Der exakte Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Ein schneller Approximationsalgorithmus 59
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