Umwege in Polygonen - Universität Bonn

q 1
q 2
p
π(p, q 1 ) π(p, q 2 )
P
Abbildung 16: Umwegmaxima mit einem gemeinsamen Punkt
γ
a
d
s
b
b ′
c
s ′
c ′ d ′ a ′
Abbildung 17: sich schneidende Umwegmaxima
Wenden wir uns nun der Situation zu, in der sich in einem nicht-konvexen Polygon zwei
Umwegmaxima echt schneiden. Wir wollen diese Annahme zum Widerspruch führen.
Es würde sich eine Situation wie in Abbildung 17 ergeben. Die beiden Umwegmaxima
(a, c) und (b, d) schneiden sich in einem Punkt s. Dabei seien o.B.d.A die Maximumpunkte
a, b, c und d im Uhrzeigersinn um s angeordnet.
Man beachte, dass im jetzt zu untersuchenden Fall des echten Schnittes s ∉ {a, b, c, d} ist.
Der Schnittpunkt s liegt dann in P C , da sonst wieder die Maximumpaare im Widerspruch zu
Lemma 3.1 nicht in P C gegenseitig sichtbar wären. Da P C zusammenhängend ist (ansonsten
hätte P ein Loch und wäre nicht einfach), muss es einen Weg γ ⊂ P C von s ins Unendliche
geben. Dieser Weg γ schneidet genau eine der Strecken ab, bc, cd oder ad in einer ungeraden
Anzahl. Sei dies o.B.d.A die Strecke ad.
Betrachte nun die vier kürzesten Wege π(a, b), π(b, c), π(c, d) und π(a, d). Zwei Nachbarwege
aus dieser Menge, d.h. Wege, die einen gemeinsamen Endpunkt haben (wie z.B.
π(a, b) und π(a, d)), laufen von ihrem gemeinsamen Endpunkt aus evtl. erst ein Teilstück
gemeinsam, trennen sich dann, und treffen sich nicht wieder. Wir bezeichnen den Punkt,
an dem sich zwei Nachbarwege trennen mit dem Namen des gemeinsamen Endpunktes und
einem angehängten Apostroph (z.B. a ′ ). Würden sich die Wege nach der Trennung in einem
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