Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Eckpunkt p, die Kante e auf der q liegt, und der Eckpunkt b, an dem π(p, q) hängt, vorgegeben
sind. In diesem Unterabschnitt werden wir die Erkenntnisse nutzen, um einen Algorithmus
zu entwickeln, der das Umwegmaximum zwischen einem vorgegebenen Eckpunkt p und einer
Randkante e ermittelt.
Am Anfang von Abschnitt 5 hatten wir schon Trichter als Teile von Sanduhren vorgestellt
(siehe S. 16). Lee und Preparata zeigen in [LP84], dass zu einem Polygonpunkt p und einer
Polygonkante e alle kürzesten Wege π(p, q ′ ) für q ′ ∈ e durch so einen Trichter laufen.
π(p, q)
p
pq
q l
q
e
q r
π l
π r
π(p, b F )
b F
Abbildung 32: Ein kürzester Weg π(p, q) im Trichter von p und e
Dargestellt ist die Situation beispielhaft in Abbildung 32. Die Kante e bildet dort die
Trichteroberseite. Des weiteren wird der Trichter durch zwei nach außen konvexe Randketten
π l und π r , die je einen Endpunkt (q l bzw. q r ) von e mit dem gemeinsamen Trichterfußpunkt
b F verbinden, begrenzt. Dieser eigentliche Trichter ist über die Kette π(p, b F ) mit dem Punkt
p verbunden. In Anlehnung an die Funktion eines Trichters werden wir π(p, b F ) Schlauch
nennen. Mit dem Begriff Trichter sei nur der von den Randketten π l und π r und von der
Trichteroberkante e begrenzte Bereich ohne Hinzunahme des Schlauches bezeichnet. Wie
Guibas et al. in [GHL + 87] werden wir das Gebiet dieses Trichters auch mit Φ(e) bezeichnen.
Eine wichtige Eigenschaft der Randketten ist, dass sie selbst kürzeste Wege im Polygon
sind. Es gilt π(p, q l ) = π(p, b F ) ⊕ π l und π(p, q r ) = π(p, b F ) ⊕ π r .
Weiterhin sind in Abbildung 32 gepunktete Trennlinien zwischen verschiedenen Trichterbereichen
eingezeichnet. Jeder solche Bereich ist dadurch charakterisiert, dass die kürzesten
Wege π(p, q ′ ) von einem Punkt q ′ dieses Bereiches aus an einem bestimmten dem Bereich
zugeordneten Trichtereckpunkt b hängen. So liegt der dargestellte Punkt q eindeutig im zu
b F gehörigen Bereich.
Hat man zu einem Punkt p und einer Kante e den zugehörigen Trichter gegeben, dann
lässt sich leicht Lemma 7.1 anwenden, um das Umwegmaximum des Punkt-Kantenpaares zu
berechnen. Dazu dient folgender Algorithmus:
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