Umwege in Polygonen - Universität Bonn

wird. Die genaue Begründung folgt gegen Ende des Beweises. Seien also a = p 2j−1 und
b = p 2k−1 zwei (verschiedene) Zinkenspitzen. Dann gilt:
∣ ab
∣ ∣ =
√
√
(2j
(a x − b x ) 2 + (a y − b y ) 2 − 1
=
2n − 2k − 1 ) 2
+ (y j − y k ) 2
2n
(74)
{ √ <
√ 1 + 0 = 1 falls yj = y k
>
1
n 2 + 1 falls y j ≠ y k (also |y j − y k | ≥ 1)
Zum Verständnis der Bemerkung in Klammern muss man sich daran erinnern, dass die y i
ganze Zahlen sind. Für die kürzeste Verbindung durch das Polygon gilt andererseits wegen
der Kammform:
(75) 2(ŷ − y) < |π(a, b)| < 1 + 2(ŷ − y)
Aus (74) und (75) ergibt sich insgesamt:
⎧
⎨ > 2(ŷ − y) falls y j = y k
(76) u P (a, b)
⎩ < 1+2(ŷ−y) √ 1
n 2 +1 falls y j ≠ y k
Wegen der Wahl von ŷ in (70) liefert dies ein echtes Entscheidungskriterium, denn es gilt:
(77)
⇔ 2
⇔ 2
⇔
1 + 2(ŷ − y)
2(ŷ − y) ≥ √
1
n
+ 1
)
(√1 2 + 1 n 2
(√1 + 1 n 2 − 1 )
√
ŷ ≥ y 1 + 1 n
− y + 1 2 2
√
1 + 1 n
− 1 2
(ŷ − y) ≥ 1 + 2(ŷ − y)
ŷ ≥ 1 + 2
(
y
(siehe (70))
√1 + 1 n 2 − y )
Damit bleibt nur noch zu begründen, warum wir uns auf den Fall, in dem u E P
max zwischen
zwei Zinkenspitzen angenommen wird, beschränken können. Natürlich kann das Maximum
nicht zwischen zwei Einbuchtungsecken (p i mit geradem i) angenommen werden, denn solche
Eckpunkte sind (in P ) gegenseitig sichtbar.
Um auch gemischte Paare, also Paare von Einbuchtungseckpunkten und Zinkenspitzen,
auszuschließen, können wir ŷ so groß wählen, dass ŷ − y > √ 1 + 1/n 2 ist. Schließen wir
den trivialen Fall y = y aus, dann ist das schon durch (70) gewährleistet, was einfache
Umformungen zeigen. Ist nun z eine Zinkenspitze und e ein Einbuchtungseckpunkt, dann
gilt:
(78) u P (z, e) < ŷ − y + 1
ŷ − y
≤ ŷ √
− y + 1 ≤
1 + 1 n 2
1 + 2(ŷ − y)
√
1
n 2 + 1
(77)
≤ 2(ŷ − y)
Daher ändert der Einfluss von gemischten Paaren nichts an unserem durch (76) gegebenen
Entscheidungskriterium.
Um nun zu entscheiden, ob unter den gegebenen ganzen Zahlen y 1 , . . . , y n zwei gleiche
sind, müssen wir nur den Algorithmus A auf das Kammpolygon anwenden. Er errechnet den
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