Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Algorithmus 1
Input: ein Punkt p ∈ P , eine Randkante e, die Randketten π l und π r des zugehörigen
Trichters, die Länge des zugehörigen Schlauches |π(p, b F )|
Output: ein Punkt q ∈ e mit maximalem Umweg, u P (p, q) = max q ′ ∈e u P (p, q ′ )
1. Teste, ob p auf e liegt. Wenn ja, dann gebe p aus. Wenn nein, fahre fort.
2. Teste, ob p auf der Verlängerung von e liegt. Wenn ja, gebe von den
Endpunkten q l und q r der Kante e denjenigen aus, der näher an p liegt.
Wenn nein, fahre fort.
3. Durchlaufe von b F aus erst π l und dann π r . Berechne dabei für jeden
Trichtereckpunkt b die Länge |π(p, b)| := |π(p, b F )| + |π(b F , b)|.
4. Durchlaufe alle Trichtereckpunkte b inklusive b F
a) Berechne alle reellen Nullstellen des mit den Werten von p und b
gebildeten Polynoms (49) aus Lemma 7.1. 4 Ist das Polynom identisch
null, dann berücksichtige gar keine Nullstelle.
b) Teste für jede Nullstelle t, ob q(t) im zu b gehörigen Bereich liegt.
Finde ein Umwegmaximum der richtig liegenden Nullstellenpunkte
q(t) und der beiden zu b gehörigen Bereichsgrenzen.
5. Finde ein Maximum der Maxima aus 4. und den zugehörigen Randpunkt q.
Gebe q aus.
Wir zeigen zuerst die Korrektheit dieses Algorithmus. Liegt p selbst auf der Randkante
e, dann kann p ganz e sehen, also ist auf ganz e der Umweg u P (p, .) ≡ 1. Damit ist auch p
selbst ein korrekter Rückgabewert.
Liegt p nicht auf e aber auf der Verlängerung von e, dann wird das Umwegmaximum
auf jeden Fall bei dem Endpunkt von e angenommen, der näher an p liegt. Dies sieht man
analog zum Beweis von Lemma 3.1 auf S.10ff. Die gesonderte Betrachtung dieses Falles ist
notwendig, weil er in Lemma 7.1 (siehe S. 46) ausgeschlossen werden musste, um im Beweis
das Auftreten eines verschwindenden Nenners zu verhindern.
Interessant wird der Algorithmus eigentlich erst, wenn die beiden Spezialfälle nicht eintreten.
Dann liegt p nicht auf der Verlängerung von e und Schritt 3 wird ausgeführt. Die
hier berechneten Distanzen |π(p, q)| werden für die Berechnung der Umwegwerte und für die
Anwendung des Polynoms (49) benötigt.
Liegt nun die Stelle q eines Punkt-Kanten-Maximums in einem Bereich, in dem π(p, q ′ )
von q ′ aus an einem bestimmten Trichtereckpunkt b hängt, dann muss der zugehörige Positionsparameter
t nach Lemma 7.1 eine Nullstelle dieses Polynoms (49) sein. Gehen wir
zunächst davon aus, dass das Polynom nicht identisch null ist. q wird also im Schritt 4a)
entdeckt, besteht dann den Bereichstest aus Schritt 4b) und fließt in die Maximumberechnung
ein. Der Algorithmus gibt dann tatsächlich q aus oder einen anderen Randpunkt, dessen
Umweg aber den gleichen Wert hat. Auf jeden Fall ist die Ausgabe des Algorithmus korrekt.
Liegt die Stelle q eines Punkt-Kanten-Maximums auf einer Bereichsgrenze, wozu auch
die Kantenendpunkte q l und q r zählen, dann fließt der Wert in die Maximumberechnung in
Schritt 4b) ein. Der Algorithmus gibt entweder q aus, oder einen Randpunkt mit gleichem
Umweg. Wieder ist die Ausgabe korrekt.
4 Verfahren zur exakten Nullstellenbestimmung von Polynomen vierten Grades in konstanter Zeit sind
allgemein bekannt. Siehe z.B. [BSMM95] S.31 oder [Bos93] S.88-91 .
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