Umwege in Polygonen - Universität Bonn

4 Existenz eines Umwegmaximums
In diesem Abschnitt werden wir die Existenz eines Punktpaares mit maximalem Umweg
beweisen. Die Argumentation läuft hauptsächlich über die Stetigkeit des Umweges u P (., .)
als Funktion auf P ×P und die Kompaktheit von P ×P . Nur in dem Spezialfall eines spitzen
Eckpunktes (siehe Abb. 6), in der eine Unstetigkeit von u P (., .) auftritt, ist eine genauere
Betrachtung notwendig.
Jedes Polygon P ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt in R 2 . Damit ist auch
P × P kompakt in R 2 × R 2 . Könnten wir nun zeigen, dass u P (., .) überall stetig ist, so würde
u P (., .) auf P × P sein Maximum annehmen. Die Existenz eines Punktpaares mit maximalem
Umweg wäre gezeigt.
Durch kanonische Abschätzungen ist leicht zu zeigen, dass |π(., .)| auf P × P stetig ist.
Natürlich ist auch |pq| stetig. Beides ist am leichtesten bezüglich der 1-Norm ‖(p, q)‖ :=
‖p‖ R 2 + ‖q‖ R 2 zu zeigen, die bekanntermaßen zur euklidischen Norm äquivalent ist. Die
Stetigkeit von Zähler und Nenner impliziert dann die Stetigkeit von u P (., .) in Punktpaaren
(p, q) mit p ≠ q.
Ist p = q kein Eckpunkt, dann sind auch Punktpaare in einer kleinen Umgebung gegenseitig
sichtbar, also bleibt hier u P (p, q) = 1. Demnach ist u P (., .) auch in solchen Punktpaaren
stetig. Gleiches gilt, falls p = q ein Eckpunkt ist, der aus dem Polygon herausragt, dessen
Außenwinkel also nicht kleiner als π ist.
Die Funktion u P (., .) ist also in allen Punktpaaren (p, q) ∈ P × P stetig, bei denen
p ≠ q ist, oder bei denen p = q kein spitzer Eckpunkt ist. Ein solcher spitzer Eckpunkt ist
in Abbildung 6 dargestellt. Er liegt vor, wenn die Ecke bildlich gesprochen in das Polygon
hinein sticht, d.h. wenn der Außenwinkel kleiner als π ist. Ist p = q ein spitzer Eckpunkt,
dann ist u P (., .) an dieser Stelle tatsächlich unstetig.
Zur Analyse dieses Falles nennen wir den Eckpunkt c und den zugehörigen Außenwinkel
γ. Da die Ecke in c spitz ist, ist also γ < π. Weiterhin sei ε so klein, dass in der zugehörigen
ε-Scheibe B ε (c) keine weitere Randkante von P auftaucht. Jetzt kann man eine Umgebung
U von (c, c) ∈ P × P so klein wählen, dass für alle Punktpaare (p, q) ∈ U sowohl p als auch
q in B ε (c) liegen. Wir wollen für solche Punktpaare u P (p, q) nach oben abschätzen. Dazu
betrachten wir nur Punktpaare aus U, die nicht gegenseitig sichtbar sind, denn sonst lässt
sich der Umweg ja durch 1 abschätzen.
Nach Lemma 3.1 ist für solche Paare u P (p, q) ≤ u P (p ′ , q ′ ), wobei p ′ und q ′ die beiden
Randschnittpunkte von pq sind (siehe Abb. 6). Es genügt folglich zur Aufstellung der gesuchten
Abschätzung Randpunktpaare (p ′ , q ′ ) zu betrachten, bei denen die beiden Punkte
auf unterschiedlichen Randkanten liegen.
Verschiebt man nun p ′ und q ′ auf dem Rand so, dass die Winkel im Dreieck cp ′ q ′ gleich
bleiben, dann bleibt offensichtlich auch der Umweg gleich. Also hängt der Umweg von solchen
sich gegenüberliegenden Randpunkten bei festem γ nur vom Winkel β p ′ (bzw. β q ′) ab. Daher
genügt es bei der Suche nach einem Randpunktpaar mit maximalem Umweg, p ′ fest zu lassen
und nur q ′ zu verschieben.
Da in dieser Situation alle betrachteten kürzesten Wege über die sich in c treffenden
Kanten verlaufen, ist sie analog zum Kettenfall. Nach Lemma 1 von [EBKLL01] gibt es
dann tatsächlich ein Maximum, und es ist charakterisiert durch (siehe auch Lemma 5.2 auf
S. 26):
∣
∣p ′ q ′∣ ∣
(8) cos β q ′ = −
|π(p ′ , q ′ )|
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