Umwege in Polygonen - Universität Bonn

6.1 problemlos auf den neuen Fall übertragen, da im Vergleich zum durch a ′ b ′ , b ′ c ′ , c ′ d ′ und
a ′ d ′ gebildeten Polygon die Viereckseiten π(a ′ , b ′ ), π(b ′ , c ′ ), π(c ′ , d ′ ) und π(a ′ , d ′ ) mindestens
gleich lang sind wie die entsprechenden direkten Verbindungen.
Komplizierter wird die Argumentation, wenn π V ′(a ′ , c ′ ) oder π V ′(b ′ , d ′ ) nicht geradlinig
verlaufen. Dann kann man aber das duale Viereck V ′ wie in Abbildung 23 gerade biegen. Es
gilt das folgende Lemma.
b ′
V ′ a ′
˜c ′ ã ′
c ′
=⇒
b ′′
V ′′ a ′′
c ′′ d ′′
d ′
Abbildung 23: Geradebiegen des dualen Vierecks V ′
Lemma 6.3 Seien vier Punkte a ′ , b ′ , c ′ , d ′ ∈ R 2 in der Ebene gegeben. Seien außerdem vier
polygonale Ketten π(a ′ , b ′ ), π(b ′ , c ′ ), π(c ′ , d ′ ) und π(a ′ , d ′ ) gegeben, die jeweils die im Namen
auftauchenden Endpunkte verbinden und ein einfaches Polygon V ′ bilden. Seien diese Ketten
bezüglich V ′ nach außen hin konvex. Seien π V ′(a ′ , c ′ ) und π V ′(b ′ , d ′ ) kürzeste Wege in V ′ .
Dann können wir ein einfaches Polygon V ′′ mit den vier Randpunkten a ′′ , b ′′ , c ′′ , d ′′ ∈ R 2
und den vier nach außen konvexen Randketten π(a ′′ , b ′′ ), π(b ′′ , c ′′ ), π(c ′′ , d ′′ ) und π(a ′′ , d ′′ )
bilden, in dem (a ′′ , c ′′ ) und (b ′′ , d ′′ ) gegenseitig sichtbar sind, und das folgende Aussagen
erfüllt:
|π(a ′′ , b ′′ )| ≤ |π(a ′ , b ′ )| , |π(b ′′ , c ′′ )| ≤ |π(b ′ , c ′ )| , |π(c ′′ , d ′′ )| ≤ |π(c ′ , d ′ )| ,
|π(a ′′ , d ′′ )| ≤ |π(a ′ , d ′ )| , ∣ ∣a ′′ c ′′∣ ∣ = |π V ′(a ′ , c ′ )| , ∣ ∣b ′′ d ′′∣ ∣ = |π V ′(b ′ , d ′ )|
Beweis. Wir werden zeigen, dass man in jedem Fall durch Geradebiegen der sich kreuzenden
Wege π(a ′ , c ′ ) und π(b ′ , d ′ ) ein solches Polygon V ′′ erhalten kann.
Wie biegt man nun die sich kreuzenden Wege in V ′ gerade? Wir möchten dies anhand
von π(a ′ , c ′ ) erläutern. Dieser Weg verläuft entweder erst ein Stück mit π(a ′ , b ′ ) oder erst ein
Stück mit π(a ′ , d ′ ), oder er trennt sich schon in a ′ von diesen beiden Wegen. Anschließend
kann er wegen der Eindeutigkeit der kürzesten Wege im Polygon keinen der beiden Wege
wiedertreffen. Nennen wir den Punkt, in dem sich π(a ′ , c ′ ) von dem letzten der beiden anderen
Wege trennt, ã ′ . Hinter ã ′ verläuft π(a ′ , c ′ ) eventuell ein Stück weit frei und geradlinig im
Innern von V ′ . Dann schließt sich, wegen der analogen Betrachtung von c ′ aus, ein Wegstück
entweder auf π(b ′ , c ′ ) oder π(d ′ , c ′ ) bis hin zu c ′ an. Nenne den Zusammentreffpunkt ˜c ′ . Dabei
kann ˜c ′ = c ′ sein. Es sind aber auch sogar Fälle mit ã ′ = ˜c ′ = b ′ denkbar.
Ist nun a ′ = ã ′ , dann ist an dem Punkt a ′ nichts gerade zu biegen. Deshalb sei im
folgenden a ′ ≠ ã ′ . Und zwar betrachten wir nur den Fall, in dem π(a ′ , c ′ ) bis zu ã ′ auf
π(a ′ , b ′ ) verläuft. Alle anderen Fälle können analog behandelt werden.
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