Umwege in Polygonen - Universität Bonn

auch b ′ liegt, die senkrechte Projektion von b auf e. Falls b ′ direkt auf p ∗ liegt, ist die Wahl
der Orientierung wegen der Symmetrie der Situation sowieso bedeutungslos (vgl. (46) für
b = = 0).
Die weiteren Bezeichnungen sind in Abb. 31 zu sehen. Wir definieren b = := ∣ ∣ p∗ b ′∣ ∣ , also
immer positiv. Außerdem seien die Winkel festgelegt durch sin β = (t − b = )/ ∣ ∣ bq
∣ ∣, cos β =
b ⊥ / ∣ ∣ bq
∣ ∣, sin ϕ = t/ |pq|, cos ϕ = p⊥ / |pq| und β q = ϕ + π/2.
Betrachte nun Punkte q ′ (t ′ ) auf e in der Nähe von q. Zur Unterscheidung von dem durch
q festgelegten t nennen wir die Parametrisierungsvariable wieder t ′ . Der Umweg zwischen p
und q ′ (t ′ ) wird eine Funktion, die nur von t ′ abhängt:
√
f(t ′ ) := u P (p, q ′ (t ′ (t′ − b = )
)) =
2 + b 2 ⊥
+ |π(p, b)|
√
t
′2
+ p 2 ⊥
Die erste Ableitung berechnet sich zu:
f ′ (t ′ ) =
√ (
√
t ′ √(t′ )
−b = t
′2
+ p 2 (t′ −b =) 2 +b 2 ⊥ − − b = ) 2 + b 2 ⊥ + |π(p, b)|
⊥
t ′2 + p 2 ⊥
√ t ′
t ′2 +p 2 ⊥
Damit in t (also bei q) ein einseitiges lokales Maximum vorliegen kann, muss f ′ (t) = 0 sein.
(46)
√
t − b
√ =
t 2 + p 2
(t − b= ) 2 + b 2 ⊥
⊥
)
−
(√(t − b = ) 2 + b 2 ⊥ + |π(p, b)|
t
√
t2 + p 2 ⊥
!
= 0
Unter Benutzung der Winkel in den rechtwinkligen Dreiecken ergibt sich daraus:
(47)
⇒
⇒
0 = sin β |pq| − |π(p, q)| sin ϕ
sin ϕ
sin β = |pq| ∨ sin β = sin ϕ = 0
|π(p, q)| cos β q
sin β = − |pq|
|π(p, q)| ∨ sin β = cos β q = 0
Dies ist die angekündigte Verallgemeinerung von Gleichung (8). Auf das gleiche Ergebnis
kommt man übrigens mit Gleichung (13) aus dem nicht-parallelen Fall in Abschnitt 5.1,
wenn man sich klar macht, dass sin ϕ = (t − s cos γ)/ |pq| ist.
An der Form von Gleichung (47) ist unschön, dass sich die benutzten Winkel β q und
β nicht entsprechen. In diesem Sinne wäre entweder die Verwendung der beiden Winkel ϕ
und β schöner gewesen, oder die Benutzung von β q zusammen mit dem Winkel zwischen pq
und e. Wir haben uns trotzdem für die vorliegende Version entschieden, da die Verwendung
von β konsistent zu den Bezeichnungen in Abschnitt 5 ist, und die Verwendung von β q den
Zusammenhang zu der aus [EBKLL01] stammenden Gleichung (8) auf Seite 13 (siehe auch
Lemma 5.2 auf S. 26) verdeutlicht. Denn wenn π(p, q) auf der Kante e verläuft, dann ist
β = π/2, also sin β = 1. Dann stimmen die Gleichungen (8) und (47) überein. Gleichung (8)
ist folglich ein Spezialfall von (47).
Ein anderes Manko der kompakten Formel (47) ist, dass sie nicht direkt dazu benutzt
werden kann, die tatsächliche Position eines Maximums zu berechnen. Denn alle vier auftretenden
Terme hängen von der Position t ab. Um eine Formel für t zu bestimmen, gehen wir
noch einmal von (46) aus. Da q ein echter Randpunkt sein soll, ist der Eckpunkt b ungleich
q. Außerdem verlangen wir, damit p 2 ⊥
> 0 ist, dass p nicht auf der Verlängerung der Kante e
liegt, die entsteht, wenn man e zu einer Geraden ausdehnt. Bei der Suche nach dem globalen
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