Umwege in Polygonen - Universität Bonn

(25)
4
·
( cos 2 )
α
|pq| 2 − t (sin β + sin α cos γ)
|ap|
(
)
cos 2 β
∣ |pq| 2 − s (sin α + sin β cos γ)
∣ qb (22),(14),(15)
≥ 4s 2 (sin β + sin α cos γ) 2
Aus (25) wird unter Beachtung von t(sin β + sin α cos γ)s(sin α + sin β cos γ) = s 2 (sin β +
sin α cos γ) 2 (siehe (15)):
(26)
≥
cos 2 α
|ap|
|pq| 2 cos 2 β
∣ |pq| 2
∣ qb t (sin β + sin α cos γ) cos2 β
∣
∣ qb |pq| 2 + s (sin α + sin β cos γ) cos2 α
|ap|
|pq| 2
Wenden wir (23) bzw. (24) auf die linke Seite dieser Ungleichung an, so erhalten wir:
(27)
Also:
und
t (sin β + sin α cos γ) cos2 β
∣ |pq| 2 ≤ 0
∣ qb s (sin α + sin β cos γ) cos2 α
|ap|
|pq| 2 ≤ 0
(28)
falls cos β ≠ 0 : t (sin β + sin α cos γ) ≤ 0
und falls cos α ≠ 0 : s (sin α + sin β cos γ) ≤ 0
Zusammen mit (23), (24) und s, t > 0 folgt:
(29)
falls cos β ≠ 0 : sin β + sin α cos γ = 0
und falls cos α ≠ 0 : sin α + sin β cos γ = 0
Also folgt im ersten Fall (cos β ≠ 0):
(30)
0 = sin β(s − t cos γ) + sin α cos γ(s − t cos γ)
(15)
= sin α(t − s cos γ) + sin α cos γ(s − t cos γ)
= sin αt(1 − cos 2 γ)
= t sin α sin 2 γ
Was wegen sin 2 γ ≠ 0 und t ≠ 0 das Verschwinden von sin α impliziert. Analog können wir
im zweiten Fall vorgehen und erhalten insgesamt:
(31)
falls cos β ≠ 0 : sin α = 0
und falls cos α ≠ 0 : sin β = 0
Da aber sin α = 0 ⇒ cos α ≠ 0 und sin β = 0 ⇒ cos β ≠ 0 gelten, folgt in beiden Fällen
sin α = sin β = 0, was mit (14) einen Widerspruch zu |π(p, q)| > 0 darstellt.
Also kann ein lokales Maximum in einem echten Randpunktpaar bei nicht parallelen
Kanten nur vorliegen, wenn cos α = cos β = 0 ist. D.h. a muss auf der Kante d liegen
und b auf der Kante e. Also führt der kürzeste Weg π(p, q) über beide Kanten. Diesen Fall
betrachten wir in Abschnitt 5.4.
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