Umwege in Polygonen - Universität Bonn

maximalen Eckpunktumweg u E P
max . Ist u E P
max > 2(ŷ − y), dann gibt es in (y 1 , . . . , y n ) zwei
gleiche Zahlen, sonst nicht.
Damit ist gezeigt, dass man, falls man den maximalen Eckpunktumweg eines Polygons
schneller als in Ω(n log n) berechnen könnte, auch das Problem Element-Uniqueness für
ganze Zahlen schneller als in Ω(n log n) lösen könnte im Widerspruch zu dem einleitend
erwähnten Ergebnis aus [Yao89]. Dadurch ist der Beweis von Lemma 9.1 abgeschlossen. □
Es sei an dieser Stelle noch auf eine mögliche Kritik am benutzten Beweisverfahren
eingegangen. Die Ungleichung (70) erzwingt unter Umständen die Wahl eines sehr hohen
Wertes für ŷ. Denn der Nenner konvergiert für steigende n gegen 0, während der Zähler
immer größer als y − y + 1/2 bleibt. Dadurch kann es sein, dass der Algorithmus A, der den
maximalen Eckpunktumweg des konstruierten Polygons bestimmt, mit grossen Zahlenwerten
umgehen muss.
Im algebraischen Entscheidungsbaummodell wird aber die Größe der auftretenden Zahlen
nicht berücksichtigt. Das Ausrechnen von Polynomen einer gewissen Ordnung d wird
unabhängig von der Größe der für die Variablen eingesetzten Werte als ein einzelner Rechenschritt
angesehen. Man könnte sich nun fragen, ob diese dem Modell inhärente Annahme
hier noch gerechtfertigt erscheint. Die Frage ist sicherlich ernst zu nehmen.
Eine ähnliche Problematik entdeckten Kirkpatrick und Reisch in [DK84], als sie es schafften
in einem RAM-Modell mit zusätzlichen Instruktionen in linearer Zeit ganze Zahlen zu
sortieren. Dieser und darauf folgende andere Ansätze ([FW93], [FW90], [AHNR98]) sind
möglich, weil in Zwischenergebnissen sehr hohe Zahlen verwendet werden, ohne dass dies
einen Einfluss auf die im Modell nötige Rechenzeit hat.
Um diesen unrealistischen Ergebnissen entgegen zu treten, wurde für Algorithmen, die
mit ganzen Zahlen umgehen, das Word RAM-Modell entwickelt (siehe [Hag98] und [FW93]),
in dem die Bitzahl aller im Algorithmus vorkommender Zahlen auf eine vorgegebene Wortlänge
beschränkt ist. Ein entsprechendes Vorgehen bei reellen Zahlen ist uns jedoch nicht
bekannt. Dabei würde auch die Schwierigkeit auftreten, dass der zur Speicherung von reellen
Zahlen notwendige Speicherplatz nicht nur von der Größe der Zahl, sondern in größerem
Ausmaß von der gewünschten Genauigkeit abhängt.
Kommen wir zurück zum hier konstruierten kammförmigen Polygon. ŷ steigt proportional
1
zu √
1+ 1 −1. Durch kanonische Umformungen lässt sich zeigen, dass √ 1
≤
n 2 1+ 1
n 2 −1 2n2 + 1
ist, dass also ŷ nur quadratisch in n wächst. Im Abschnitt 9.4 werden wir für diesen Fall
sogar einen Reduktionsbeweis finden, bei dem die Zahlengrößen nur linear in n steigen.
Man könnte auch diesen Einfluss mit Sorge betrachten. Allerdings ist es wichtig zu erkennen,
dass die Kritik sich nicht auf die Gültigkeit oder den Beweis von Lemma 9.1 bezieht,
sondern dass sie eine Schwäche des algebraischen Entscheidungsbaummodelles aufdeckt. Eine
noch wesentlich praxisferner anmutende Eigenschaft dieses Modells führt Chen in [Che96]
anhand eines überraschenden Paradoxons vor. Es beruht im wesentlichen darauf, dass der
Test auf Ganzzahligkeit dort nicht durchführbar ist.
Bei aller Kritik sei aber nicht vergessen, dass die Beschränkung auf dieses Modell überhaupt
erst die Aufstellung von aussagekräftigen unteren Schranken in der algorithmischen
Geometrie ermöglicht hat. Die zusätzliche Berücksichtigung der Größe der Eingabewerte ist
ohne Zweifel eine interessante Idee. Sie würde aber den Rahmen der vorliegenden Diplomarbeit
sprengen.
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