Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Knoten des Baumes tauchen genau alle Eckpunkte von P auf. Die Kanten sind als Teile
von kürzesten Wegen direkte, gerade Verbindungsstrecken zwischen gegenseitig sichtbaren
Eckpunkten. Ein solcher Shortest Path Tree ist in Abb. 36 dargestellt.
Um den Shortest Path Tree zu erhalten, sind verschiedene Verfahren denkbar. Guibas
et al. haben in [GHL + 87] einen Algorithmus vorgestellt, der in linearer Zeit O(n) zu einem
Eckpunkt p eines schon triangulierten Polygons den Shortest Path Tree berechnet. Da nach
Chazelle [Cha91] die Triangulierung eines Poylgons ebenfalls in linearer Zeit möglich ist,
können wir auf diese Weise in Zeit O(n) einen Shortest Path Tree zum Eckpunkt p erhalten.
Abbildung 37: der Sichtbarkeitsgraph eines Polygons
Ein andere Möglichkeit besteht darin, zunächst in einer Vorbereitungsphase den Sichtbarkeitsgraphen
des Polygons zu berechnen (siehe Abb.37). Die Knoten dieses Graphen sind
wieder die Eckpunkte des Polygons. Die Kanten sind alle direkten geraden Verbindungen
zwischen gegenseitig sichtbaren Eckpunktpaaren. Dieser Sichtbarkeitsgraph eines Polygons
lässt sich z.B. in O(n 2 ) durch n Rundläufe durch den Polygonrand analog zum Vorgehen in
[Lee83] bestimmen. Dabei kann man erreichen, dass in der berechneten Datenstruktur, die
zu einem Eckpunkt inzidenten Kanten des Sichtbarkeitsgraphen im Uhrzeigersinn sortiert
gespeichert sind.
Anschließend kann man durch folgendes leichte Verfahren in linearer Zeit den Shortest
Path Tree berechnen. Man beginnt mit den Kanten zu allen von p aus sichtbaren Punkten.
Dann setzt man für jede Kante des bisher konstruierten Teiles des Shortest Path Tree, die zu
einem bestimmten Eckpunkt q führt, den Baum mit den Kanten des Sichtbarkeitsgraphen
in q fort, die bildlich gesprochen hinter die von P C in q gebildete Ecke biegen (siehe dazu die
dünn gepunktet gezeichneten Verlängerungen der Kanten des Shortest Path Tree in Abb.
36). Die zum Auffinden dieser Kanten benötigten Informationen können durch einen linearen
Durchlauf durch alle Sichtbarkeitskanten für jeden Eckpunkt vorab berechnet werden.
Wie auch immer man den Shortest Path Tree berechnet, danach können wir durch einen
von p aus gestarteten Durchlauf durch die n − 1 Kanten jedem Eckpunkt q die Länge des
kürzesten Pfades π(p, q) zuordnen. Fassen wir das bisher erreichte in einem Lemma zusammen:
Lemma 7.3 Zu einem einfachen Polygon P und einem der n Eckpunkte p des Polygons
kann man in einer Laufzeit von O(n) den zugehörigen Shortest Path Tree berechnen, bei
dem zu jedem Knoten q die Distanz |π(p, q)| gespeichert ist.
Um nun zu einer Randkante e mit den Endpunkten q l und q r den Trichter bezüglich p
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