Umwege in Polygonen - UniversitÃ¤t Bonn

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Wie in [EBKLL01] ergibt sich dann eine lineare obere Schranke für die Anzahl von Punktpaaren maximalen Umwegs. Korollar 6.1 In einem einfachen, nicht-konvexen Polygon P mit n Ecken gibt es höchstens O(n) viele Punktpaare mit maximalem Umweg. Beweis. Wir bilden einen geometrischen Graphen G (siehe Abb. 29), in dem wir zunächst die Eckpunkte von P als Knoten deuten und die Randkanten als Kanten des Graphen nehmen. Zusätzlich fügen wir für jedes Punktpaar (p, q) maximalen Umwegs die Punkte p und q als Knoten und die Kante pq hinzu. Wegen Lemma 3.1 sind die Punkte p und q Randpunkte des Polygons. Also bleibt der gebildete Graph zusammenhängend. Wegen Satz 6.1, und weil die Maximumpaare nach Lemma 3.1 in P C gegenseitig sichtbar sind, also keine Polygonrandkante kreuzen, ist er außerdem kreuzungsfrei. P =⇒ G Abbildung 29: Konstruktion des kreuzungsfreien Graphen G Nun kann man noch je alle Kantenendpunkte in diesem Graphen, die auf der gleichen Randkante des Polygons aber nicht auf einem Eckpunkt liegen, so zusammenschieben, dass schließlich die beteiligten Kanten in einem gemeinsamen Punkt enden, der z.B. in der Mitte der betrachteten Randkante liegt. Die beteiligten Kanten kann man dabei so verbiegen, dass der Graph weiterhin kreuzungsfrei bleibt. r e 1 e 2 r ′ B ε (r ′ ) e 3 ⇒ r e 1 e 2 e 3 m B ε (r ′ ) Abbildung 30: Verbiegen aller auf r endenden Kanten zum Mittelpunkt m Ein mögliches Vorgehen ist in Abbildung 30 dargestellt. Zuerst wählt man ein ε > 0 so klein, dass in dem ε-Schlauch B ε (r ′ ) um den betroffenen Teil r ′ der Polygonrandkante r keine weitere Kante des Graphen bis auf die beteiligten Kanten e 1 , . . . , e k , die einen Endpunkt auf r haben, auftauchen. Anschließend verbiegt man die Kanten e 1 , . . . , e k in B ε (r ′ ) so, dass sie alle auf dem Randkantenmittelpunkt m enden und sich weiterhin untereinander nicht schneiden. Da die Änderungen am Graphen nur im Schlauch B ε (r ′ ) erfolgen, bleibt der Graph kreuzungsfrei. 42
Lasse in dem derart gebildeten Graphen alle Knoten mit Grad 2 wegfallen. Die Knotenzahl des entstandenen Graphen ist durch v ≤ 2n beschränkt, denn als mögliche Knoten kommen nur die n Polygoneckpunkte und die n Randkantenmittelpunkte in Frage. Außerdem folgt aus der Eulerschen Formel, dass in so einem Graphen die Kantenzahl durch e < 3v beschränkt ist (siehe z.B. [Kle97]). Insgesamt ergibt sich also e < 3v ≤ 6n. □ 43
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