Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Durch ähnliche Umformungen wie beim Übergang zu Gleichung (18) im nicht-parallelen Fall,
wird dies an der Stelle s ′ = s zu:
(35) f ′′ (s) =
(
1 cos
√ 2 α
∆2 + δ 2 |ap|
)
+ cos2 β
∣
∣ qb Damit in (p, q) ein lokales Maximum vorliegen kann, muss, wie schon im nicht-parallelen Fall
benutzt, f ′′ ≤ 0 sein. Dies ist offensichtlich nur dann möglich, wenn wieder cos α = cos β = 0
ist, wenn also a und b auf den Kanten d bzw. e liegen. Wieder ist also auf Abschnitt 5.4 zu
verweisen.
5.3 Sprung von π(p ′ , q ′ ) zwischen Ecken
In den unmittelbar vorangehenden Abschnitten sind wir davon ausgegangen, dass π(p ′ , q ′ )
a 2
a 1
p ′ l
p p ′ r
Abbildung 13: Sprung von π(p ′ , q ′ ) zwischen Ecken
in einer Umgebung von (p, q) über die gleichen Sanduhrecken a bzw. b verläuft. In der
Einleitung des Beweises auf S. 18 hatten wir schon den Ausnahmefall erwähnt, in dem
π(p ′ , q ′ ) zu beiden Seiten von p an unterschiedlichen aber benachbarten Sanduhrecken a 1
bzw. a 2 hängt. p liegt dann auf der Geraden durch a 1 und a 2 . Abgebildet ist dieser Fall auch
in Abb. 10 auf S.18 für den Punkt p ∗ .
Wir werden hier nur die Ausnahme im Punkt p betrachten. Liegt sie hingegen in q vor
oder gleichzeitig in p und q, dann kann man leicht die folgende Argumentation übertragen.
Sei a 2 , wie in Abb. 13 dargestellt, diejenige Sanduhrecke, die weiter von der Kante d
entfernt liegt. Mit den Ausdrücken ”
links“ und ”
rechts“ beziehen wir uns ebenfalls auf diese
Abbildung. Ohne Einschränkung verlaufe π(p ′ , q ′ ), wenn p ′ links von p liegt, über a 2 und
sonst über a 1 .
Wir wollen jetzt den tatsächlichen Umweg u P (p ′ , q ′ ) vergleichen mit dem Umweg, der
entstehen würde, wenn π(p ′ , q ′ ) zu beiden Seiten von p über a 2 liefe. Diesen Umweg nennen
wir u a2
P (p′ , q ′ ) und den zugehörigen kürzesten Weg π a2 (p ′ , q ′ ) := p ′ a 2 ⊕ π(a 2 , q ′ ).
Falls p ′ links von p liegt oder gleich p ist, gilt u a2
P (p′ , q ′ ) = u P (p ′ , q ′ ). Falls p ′ rechts
von p liegt, gilt wegen der Dreiecksungleichung ∣ ∣p ′ a 2
∣ ∣ ≤ ∣ ∣p ′ a 1
∣ ∣ + |a 1 a 2 | dass |π(p ′ , q ′ )| ≥
|π a2 (p ′ , q ′ )| ist, also auch u P (p ′ , q ′ ) ≥ u a2
P (p′ , q ′ ).
Ist nun (p, q) ein lokales Maximum von u P (., .) auf dem Kantenpaar (d, e), ist also für
alle (p ′ , q ′ ) ∈ U ⊆ d × e u P (p, q) ≥ u P (p ′ , q ′ ), dann ist also auch u a2
P (p, q) = u P (p, q) ≥
u P (p ′ , q ′ ) ≥ u a2
P (p′ , q ′ ). D.h. (p, q) is genauso ein lokales Maximum bzgl. u a2
P
(., .). Daher
können wir wieder die Überlegungen des normalen parallelen oder unparallelen Falles anwenden,
und erhalten, dass π(p ′ , q ′ ) über beide Kanten laufen muss.
d
25