Umwege in Polygonen - Universität Bonn

3 Rückführung auf Randpunkte
In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass es zu zwei Polygonpunkten p, q ∈ P immer zwei
Randpunkte gibt, deren Umweg mindestens genauso groß ist wie derjenige von p und q.
Dadurch können wir uns im folgenden bei der Suche nach Punktpaaren maximalen Umwegs
auf Randpunktpaare beschränken.
Bei der Analyse spielt die Sichtbarkeitsbeziehung zweier Punkte eine wichtige Rolle.
Zwei Punkte p, q aus einem Polygon P heißen gegenseitig sichtbar, wenn ihre direkte
Verbindung pq ganz in P liegt. Offenbar sind damit p, q genau dann gegenseitig sichtbar,
wenn u P (p, q) = 1 ist.
Der Spezialfall eines konvexen Polygons ist deshalb sehr leicht zu beschreiben. Ein Polygon
ist genau dann konvex, wenn sich alle Punkte gegenseitig sehen können. Das ist genau
dann der Fall, wenn der maximale Umweg u max
P = 1 ist.
Interessanter ist der Fall, in dem p und q nicht gegenseitig sichtbar sind. Ein solches
Punktpaar nennen wir in P C gegenseitig sichtbar, wenn pq bis auf p und q ganz im Komplement
von P , also in P C liegt.
Folgendes Lemma, dessen Aussage in Abbildung 3 veranschaulicht wird, zeigt, dass es zu
jedem nicht gegenseitig sichtbaren Punktpaar ein in P C gegenseitig sichtbares Randpunktpaar
mit mindestens gleich großem Umweg gibt. Die strengere Aussage in Unterpunkt 2.
macht deutlich, dass in nicht-konvexen Polygonen Punktpaare maximalen Umwegs in P C
gegenseitig sichtbar sein müssen. Denn sonst würde man durch die strikte Ungleichung einen
Widerspruch zur Maximalität ihres Umwegs erhalten. Auf diese Weise wird die Aussage von
Lemma 3.1 auch im Beweis von Korollar 5.1 (siehe S. 27) benutzt.
p p ′ q ′
pq
q
P
π(p ′ , q ′ )
π(p, q)
Abbildung 3: Randpunkte mit größerem Umweg
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