Umwege in Polygonen - Universität Bonn

für obere Eckpunkte:
(83) u K (a, b) < √ 2n(ŷ − y + n + 1
2n )
Sind a = p 2j−1 und b = p 2k−1 andererseits zwei untere Eckpunkte mit gleichen dazugehörigen
ganzen Zahlen y j = y k , dann ergibt sich mit m := |j − k|:
(84) u K (a, b) ≥
2m(ŷ − y)
m 1 n
= 2n(ŷ − y)
Um den Beweis analog zu dem von Lemma 9.1 beenden zu können, müssen wir also nur
noch zeigen, dass wir ŷ so gross wählen können, dass 2n(ŷ − y) ≥ √ 2n(ŷ − y + n + 1
2n ) gilt.
Dies ist tatsächlich möglich:
(85)
2n(ŷ − y) ≥ √ 2n(ŷ − y + n + 1
2n )
⇔ ŷ( √ 2 − 1) ≥ −y + n + 1
2n + √ 2y
⇔ ŷ ≥ n + 1
2n + √ 2y − y
√
2 − 1
Also kann der Beweis wie bei Lemma 9.1 zu Ende geführt werden. □
ŷ wächst hier wegen (85) nur linear in n, was die im Anschluss an den Beweis von Lemma
9.1 dargestellte Sorge wegen der Nichtberücksichtigung der Zahlengrößen im algebraischen
Entscheidungsbaummodell etwas entschärft.
9.3 Approximation des Eckpunktmaximums auf Ketten
Während Lemma 9.2 nur eine untere Laufzeitschranke für Algorithmen enthält, die den
exakten maximalen Eckpunktumweg UK
E max berechnen, gilt die von Narasimhan und Smid
in [NS00] bewiesene untere Schranke für beliebige Approximationsalgorithmen.
Dies erreichen sie dadurch, dass die benutzte Kette sich selbst schneiden und überdecken
darf. Sind nun zwei Zahlen des Element-Uniqueness-Problems, auf dem auch ihr Reduktionsbeweis
beruht, gleich, dann liegen zwei verschiedene Eckpunkte der konstruierten Kette
übereinander. Der Umweg zwischen diesen Eckpunkten wird deshalb unendlich groß.
Mit unserem Beweisverfahren, dessen Vorteil es gerade ist, auch für polygonale Ketten
ohne Selbstschnitte zu gelten, ist daher ein solch allgemeines Ergebnis nicht zu erwarten.
Allerdings können wir zeigen, dass sich die untere Laufzeitschranke auf solche Approximationsalgorithmen
übertragen lässt, die hinreichend gut sind.
Lemma 9.3 Sei A ein Algorithmus, der zu einer polygonalen Kette K eine Approximation x
des maximalen Eckpunktumweges u E max
K
berechnet, so dass gilt:
uE
max
K
1+ε
≤ x ≤ (1 + δ) u E max
K
(ε, δ > 0). Ist die Qualität der Approximation so gut, dass (1 + ε)(1 + δ) < √ 2 ist, dann
benötigt A im schlimmsten Fall eine Laufzeit von Ω(n log n) im algebraischen Entscheidungsbaummodell.
Dies gilt selbst dann, wenn man sich auf polygonale Ketten ohne Selbstschnitte
beschränkt.
Beweis. Der Beweis funktioniert prinzipiell genauso wie derjenige von Lemma 9.2. Bei der
Wahl von ŷ (vgl. (85)) müssen nur noch ε und δ berücksichtigt werden.
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