Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Für die Anwendung wäre eine geschlossene Formel für die Nullstellen des Polynoms (49)
hilfreich. Eine solche existiert natürlich. Jedoch füllt ein mit Maple berechnetes Ergebnis
schon ganze 6 DIN-A4-Seiten. Eine weitere Vereinfachung war unter Maple nicht zu erreichen.
Daher werden wir in den folgenden Algorithmen zuerst die aktuellen Werte für die
Variablen π(p, b), p ⊥ , b = und b ⊥ einsetzen, und erst anschließend Standardverfahren zur
Berechnung der Nullstellen verwenden.
Allerdings gibt es einen schon wohl bekannten Spezialfall, in dem sich die Maximumsuche
wesentlich vereinfacht.
7.2 Spezialfall des notwendigen Kriteriums
Ist der zu p und e gehörige Trichter entartet, dann hängen für alle q ∈ e die kürzesten Wege
π(p, q) an einem bestimmten Kantenendpunkt b, der gleichzeitig der Trichterfußpunkt ist.
In diesem Spezialfall ist die Suche nach einem einseitigen lokalen Maximum von u P (p, .)
auf e nach mehreren Ansätzen möglich. Zum Beispiel kann man, da π(p, .) immer über die
Kante e verläuft, mit den Ergebnissen von [EBKLL01] nach einem entsprechenden Maximum
des Umweges auf der polygonalen Kette C := π(p, b)⊕e suchen. Diese Idee hatten wir schon
in Lemma 5.2 und auch in (8) benutzt. Die erhaltene Formel cos β q = − |pq| / |π(p, q)|, die
man genauso gut aus (48) in Lemma 7.1 gewinnen kann, muss dann nur noch mit dem
Parameter t umformuliert werden.
Wir setzen hier hingegen einfach im Polynom (49) b ⊥ = 0 und erhalten:
Korollar 7.1 Seien die Voraussetzungen von Lemma 7.1 erfüllt. Sei außerdem der zu p und
e gehörige Trichter entartet, d.h. es gelte b ⊥ = 0 (vgl. Abb. 31). Dann kann in dem echten
Eckpunkt-Randpunktpaar (p, q) nur ein einseitiges lokales Maximum vorliegen, wenn der
Positionsparameter t einen der beiden folgenden Werte annimmt:
{
p 2 ⊥
(50) t ∈ −
b = + |π(p, b)| , − p 2 }
⊥
b = − |π(p, b)|
Beweis. Für b ⊥ = 0 wird [ (49) zu:
t 4 b 2 = − |π(p, b)| 2] [ ]
+ t 3 2b = (p 2 ⊥ − b 2 = + |π(p, b)| 2 )
[ ]
+t 2 p 2 ⊥ (p2 ⊥ − 2b2 = ) + (b2 = )(b2 = − |π(p, b)|2 − 2p 2 ⊥ )
+t [ 2b = p 2 ⊥ (−p2 ⊥ + b2 = )] + [ b 2 = p4 ⊥]
= 0
Dieses Polynom lässt sich in Linearfaktoren zerlegen. Es ergibt sich:
(
(b= − |π(p, b)|) t + p 2 ) (
⊥ (b= + |π(p, b)|) t + p 2 )
⊥ (t − b= ) 2 = 0
Da für t = b = der Punkt q auf dem Polygoneckpunkt b liegen würde, also (p, q) kein echtes
Eckpunkt-Randpunkt-Paar wäre, kommen für die Lösungen nur noch die beiden anderen
Faktoren in Frage.□
7.3 Maximumsuche in einem Trichter
Durch Lemma 7.1 bzw. Korollar 7.1 wissen wir, wie man eine konstant beschränkte Anzahl
von Randpunktkandidaten q für ein lokales Umwegmaximum findet, wenn der zugehörige
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