Umwege in Polygonen - Universität Bonn

Analog zur Argumentation bei der Begründung von (6) auf Seite 11 folgt dann:
min(u P (a, c), u P (b, d))
≤
(36), (37)
<
≤
|π(a, c)| + |π(b, d)|
|ac| + ∣ ∣bd ∣ ∣
|π(a, d)| + |π(b, c)|
∣ ad
∣ ∣ +
∣ ∣bc
∣ ∣
max(u P (a, d), u P (b, c))
Diese Ungleichung widerspricht der Maximalität von u P (a, c) und u P (b, d). Also ist bewiesen,
dass sich π(a, b) und π(c, d) nicht berühren. Der Beweis, dass sich π(a, d) und π(b, c) nicht
berühren, verläuft vollkommen analog.
6.3 Der Stifte-Ansatz
Ähnliche Argumentationen, die auf Dreiecksungleichungen basieren, scheitern leider an der
Lösung des verbliebenen Falles. Zur Vereinfachung der Situation sei deshalb zunächst angenommen,
dass die Viereckseiten π(a ′ , b ′ ), π(b ′ , c ′ ), π(c ′ , d ′ ) und π(a ′ , d ′ ) geradlinig verlaufen.
Außerdem sollen im ersten Schritt die Entfernungen der ”
Zubringerwege“ |π(a, a ′ )|, |π(b, b ′ )|,
|π(c, c ′ )| und |π(d, d ′ )| vernachlässigt werden, was allerdings eher eine Erschwerung darstellt
(vgl. Abschnitt 6.5). Zur Erzeugung eines Widerspruches wollen wir dann prinzipiell zeigen:
(38) u P (a, c) = u P (b, d) < max(u P (a, b), u P (b, c), u P (c, d), u P (a, d))
Im Kontext der einleitend beschriebenen Vereinfachungen bedeutet diese Ungleichung:
∣ a′ c ′∣ ∣
|ac|
=
∣ b′ d ′∣ (∣
∣ ∣a′ b ∣ ′∣ ∣ ∣ b′ c
< max
∣ ′∣ ∣ ∣ c′ d
,
∣ ′∣ ∣ ∣ a′ d
,
∣ ′∣ )
∣
,
∣
∣ bd ∣ ab ∣ bc ∣ cd ∣ ad Da eine Skalierung der geometrischen Situation der Punkte a ′ , b ′ , c ′ und d ′ offenbar alle
an der Aussage beteiligten Brüche um den gleichen Faktor verändert, können wir o.B.d.A.
annehmen, dass ∣ ∣a ′ c ′∣ ∣ = |ac| und ∣ ∣b ′ d ′∣ ∣ = ∣ ∣bd ∣ ∣ gelten. Es reicht also aus, das folgende Lemma
6.1 zu zeigen. Der zweite Teil der Aussage (39) ist dabei notwendig, weil man unter den
gegebenen Voraussetzungen nicht ausschließen kann, dass die geometrische Situation der
Punkte a ′ , b ′ , c ′ und d ′ genau derjenigen von a, b, c und d entspricht.
Lemma 6.1 Seien acht Punkte a, b, c, d, a ′ , b ′ , c ′ , d ′ ∈ R 2 in der Ebene gegeben, so dass sich
die Strecken ac und bd echt schneiden, d.h. ∣ ∣ ac ∩ bd
∣ ∣ = 1 ∧ ac ∩ bd ⊄ {a, b, c, d}, und sich
die Strecken a ′ c ′ und b ′ d ′ schneiden oder berühren, d.h. ( a ′ c ′ ∩ b ′ d ′) ≠ ∅. Gilt außerdem
|ac| = ∣ ∣ a′ c ′∣ ∣ und
∣ ∣bd
∣ ∣ =
∣ ∣b′ d ′∣ ∣ , dann folgt:
(39)
(∣ ∣a′ b ′∣ ∣ ∣ b′ c
max
∣ ′∣ ∣ ∣ c′ d
,
∣ ′∣ ∣ ∣ a′ d
,
∣ ′∣ )
∣
,
∣
∣ ab ∣ bc ∣ cd ∣ ad oder
∣ a′ b ′∣ ∣
∣
∣ab ∣ =
∣ b′ c ′∣ ∣
∣
∣bc ∣ =
> 1
∣ c′ d ′∣ ∣
∣
∣
∣cd ∣ =
∣ a′ d ′∣ ∣
∣
∣ad ∣ ∣
= 1
Beweis. Da nun also ∣ ∣ a′ c ′∣ ∣ = |ac| und
∣ ∣b′ d ′∣ ∣ =
∣ ∣bd
∣ ∣ gelten, kann man sich die beiden durch
die Punkte a, b, c, d bzw. a ′ , b ′ , c ′ , d ′ gebildeten geometrischen Situationen als zwei unterschiedliche
Lagen zweier Stifte vorstellen. Zur Verdeutlichung dient Abbildung 18.
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