Umwege in Polygonen - Universität Bonn

sich eine Differentialgleichung erster Ordnung.
√
(b ′ (x)(x − p x ) − b(x)) 2 + b ′2 (x)p 2 y
Quadrieren auf beiden Seiten ergibt:
= U √ b ′2 (x) + 1 (b ′ (x)(x − p x ) − b(x))
(b ′ (x)(x − p x ) − b(x)) 2 + b ′2 (x)p 2 y
= U 2 ( b ′2 (x) + 1 ) (b ′ (x)(x − p x ) − b(x)) 2
Was sich noch zu folgender Differentialgleichung zusammenfassen lässt:
(55)
(
U
2 ( b ′2 (x) + 1 ) − 1 ) (b ′ (x)(x − p x ) − b(x)) 2 − p 2 yb ′2 (x) = 0
Diese Differentialgleichung hat folgende Lösung:
(
)
p 2 3
3 y − (U 2 − 1) 1 3 (x − p x ) 2 2
3
(56) b(x) = −
U
Die erhaltene Funktion ist, wenn man (x − p x ) 2 3 als 3√ (x − p x ) 2 deutet, spiegelsymmetrisch
zur Vertikalen durch p x . Die x-Koordinate des Trichterfußpunktes ist dann durch die
Form der Funktion (siehe Abb. 35) automatisch auf b F x = p x festgelegt. Zur Vereinfachung
können wir dann noch das Koordinatensystem so anpassen, dass p x = 0 ist.
p
e
0
−0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,6
-0,4 -0,2
0 0,2
0,4
−0,5
0,6
Abbildung 35: Ein kontinuierlicher Trichter mit konstantem Umweg U = 2
Versucht man hingegen (x − p x ) 2 3 als sign(x − p x ) 3√ (x − p x ) 2 zu interpretieren, dann
ergibt sich ein Trichterrand, der für x < p x nicht mehr nach außen hin konvex ist.
Weiterhin lässt sich feststellen, dass die Lösung b(x) (wie auch schon die Differentialgleichung
(55)) nicht von |π(p, b F )| abhängt. Vielmehr ist |π(p, b F )| über die geometrische
Anordnung durch die Lösung festgelegt. Denn auch in q(0) muss der vorgegebene Umwegwert
U erreicht werden, und es folgt U = u P (p, q(0)) =
(56) ergibt sich:
|π(p, b F )| = p y U + p y
U
|π(p,bF )|−b(0)
p y
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